講透學爛二叉樹(一)：圖的概念和定義—各類屬性特徵淺析

樹和圖的概念

圖是一種特殊的數據結構，由點和邊構成，它能夠用來描述元素之間的網狀關係，這個網狀沒有順序，也沒有層次，就是簡單的把各個元素鏈接起來。

圖的概念和基本性質

圖（graph）：圖（graph）由邊（edge）的集合及頂點（vertex）的集合組成。一般記爲：G=(V,E)。對於兩個圖G和G’，若是G’的頂點集合與邊集合均爲G的頂點集合與邊集合的子集，那麼稱G’是G的子圖。子圖實際上就是一張圖裏面小一點的圖，也能夠是點，不難理解。

圖經常使用來表示「多對多」的關係，如常說的：六度空間理論（Six Degrees Separation）

頂點（vertex）的屬性：

• 度數（degree），與該頂點相關聯的總邊數，一個圖G的總度數d(V)等於總邊數2倍：2E。當圖的邊具備方向時，一個頂點又分爲出度（out-degree）和入度（in-degree），出度是以該頂點爲起點的邊數，入度是以該頂點爲終點的邊數。

• 階數（order），圖G中頂點集V的大小爲G的階數。

邊又稱爲線（line）或弧（arc），邊(u,v)中表示u和v鄰接（adjacent），(u, v) ∈ E，

邊（edge）的屬性：

一條邊是一個頂點對(u,v)，u, v ∈ V，按照圖的頂點對是否有序，頂點對有序的圖稱爲有向圖（directed graph, digraph），此時邊(u,v)和(v,u)是兩條不一樣的邊，頂點對無序的圖稱爲無向圖（undirected graph），此時邊(u,v)和(v,u)是兩條相同的邊，無向圖可看做一個特殊的有向圖

具備成分的邊包含：權（weight）、值（cost/value），此時圖由可分爲有權圖（weighted graph）和無權圖（unweighted graph），無權圖能夠看做是全部邊權值相同的有權圖。

路徑（path），一條路徑是一個頂點序列u1, u2, u3, …, un，(ui, u(i+1)) ∈E，1<=i<n。路徑長等於路徑的邊數：n-1，不包含邊的路徑長爲0。

簡單路徑：路徑上全部頂點互異，起點和終點能夠相同

環或圈（cycle），此時u1=un，並且路徑長至少爲1，有向圖(u,v)和(v,u)是一個圈，無向圖(u,v)和(v,u)一般不被認爲是一個圈。其中無圈圖（acyclic graph）中沒有圈，無圈有向圖又稱爲DAG（directed acyclic graph）

• 自環邊（self loop），兩個頂點都相同的邊。

• 重邊或平行邊（parallel edges），鏈接兩個頂點的邊數超過一條，又稱爲多重邊（multiple edges）

連通圖（connected graph），無向圖中每一個頂點到任意頂點都存在一條路徑，連通的有向圖稱爲強連通（strongly connected），非連通的有向圖，去掉方向其基礎圖（underlying graph）是連通的，則成爲弱連通的（weakly connected）

徹底圖（complete graph），圖中任意一對頂點都存在一條邊

稀疏圖（sparse graph），每一個頂點的度數較小的圖

圖的基本基本概念

• 頂點的度：無向圖中連着頂點的邊的數目。

• 頂點的入度和出度：有向圖中，以這個頂點爲起點的邊的數量稱爲這個頂點的出度；以這個頂點爲終點的邊稱爲這個頂點的入度。

• 邊權：邊的費用，能夠形象的理解爲「過路費」。對於一張存在邊權的圖，咱們稱爲「帶權圖」。

• 連通：若是圖中兩點U,V之間存在一條由U通過若干邊、點到達V的路徑，則稱U，V是連通的。

• 迴路：起點和終點相同的路徑，稱爲「迴路」或「環」。另外，不存在環的有向圖稱爲Directed Acyclic Graph(DAG)。

• 徹底圖：每一個點都與其它全部的點有連邊的圖。

• 無向圖：圖的邊沒有方向，能夠雙向。
  

• 有向圖：圖的邊有方向，只能按箭頭方向從一點到另外一點。

• 網絡：帶權重的圖

• 連通：若是從v 到w存在一條（無向）路徑，則稱v和w是連通的

• 路徑：v到w的路徑是一系列頂點的集合，其中任意一對相鄰的頂點間都有圖中的邊。

• 路徑的長度：是路徑中的邊數（若是帶權，則是全部邊的權重和）。若是v和w之間的全部頂點都不一樣，則稱簡單路徑

• 連通圖：圖中任意兩頂點都連通

• 連通份量：無向圖的極大連通子圖

• 極大頂點數：再加一個頂點就不連通了

• 極大邊數：包含子圖中全部頂點相連的全部邊

• 強連通：有向圖中頂點v和w之間存在雙向路勁，則稱v和w是強連通的

• 強連通圖：有向圖中任意兩頂點均強連通

• 弱連通圖：不符合強連通圖的條件，可是如果將邊的方向都去掉，若是是連通的，則稱爲弱連通圖

• 強連通份量：有向圖的極大強連通子圖

圖的簡單應用

圖的應用很普遍，這裏舉幾個簡單的例子。

• 航空系統：頂點表示機場，邊表示時間、距離或飛行的費用，通常最好有強連通的航空系統，另外常見的需求問題有：求任意兩個機場的最佳航線。

• 交通流：頂點表示街道的交叉口或紅綠燈點，邊表示速度限度或車輛容量，這時能夠求最可能參數交通瓶頸的位置，或找出一條最短路。

• 社交網絡：頂點表示用戶，用戶的活動、推薦或好友表明邊，這樣能夠表示一個完整的社交用戶網絡。

• 電商推薦系統：頂點表示用戶已瀏覽、收藏、購物過等相關的商品，邊表示兩個商品的類似性，可表示爲有權圖，權值爲類似性的大小。

另外圖論又可用於研究物理學和化學中的分子

圖的遍歷

1. 深度優先搜索（Depth Firsh Search, DFS)：走一步，看一步，走不通後返回到上一個能走通的結點

2. 廣度優先搜索（Breadth First Search, BFs)：出隊一個，訪問一圈，訪問的同時入隊，至關於樹的層序遍歷（計劃性很是強，我的感受用這種遍歷方式更好一些）

本系列主要講二叉樹，關於圖，推薦閱讀文章有：

• 數據結構與算法之圖的概念、存儲結構及遍歷方式 https://www.cnblogs.com/ivy-zheng/p/10995510.html

• 圖的概念、存儲及遍歷 https://blog.csdn.net/qq_39914766/article/details/90182084

• 圖論(graph theory)算法原理、實現和應用全解 www.srcmini.com/1635.html

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