求兩個數的最大公約數

• 思路一

  從1到兩個數中最小的數遍歷，找到能同時被兩個數都整除的數，並記錄最大的值。

  最簡單且效率最低。

• 思路二

  碾轉相除法，古希臘的一位數學家歐幾里得給出的一個高效的算法。他證實了f(x,y)=f(y,x%y)

int gcd(int num1,int num2)
{
	return !num2?num1:gcd(num2,num1%num2);
}

很簡單的遞歸，再也不討論

• 思路三

  從思路二的算法能夠知道，用到了取模運算，也就是用到了除。若是求兩個大數的最大公約數，將是一個很昂貴的開銷，下面介紹第三種思路。

  若是一個數能同時被num1,num2整除，那麼確定能被num1-num2,num2整除，相反，若是一個數能同時被num1-num2,num2整除，那麼確定能同時被num1,num2整除，因此f(num1,num2)=f(num1-num2,num2)，這樣就避免了取膜運算。

int gcd(int num1,int num2)
{
	//遞歸終止條件，即當num2爲0,num1爲最大公約數
	if(num2==0)
		return num1;
		
	//若是num1<num2，須要調換位置，不然會出現負數
	if(num1<num2)
		return gcd(num2,num1);
	else 
		return gcd(num1-num2,num2);

}

該算法有個缺點，即當兩個相差很大的時候，例如f（10000000000,1），循環次數將大大增長。

• 思路四

  該方法結合思路二和思路三的優勢來進行求解。

  若是num1,num2都爲偶數，f(num1,num2)=2f(num1/2,num2/2)

  若是num1爲奇數,num2爲偶數 f(num1,num2)=f(num1,num2/2)

  若是num1爲偶數,num2爲奇數 f(num1,num2)=f(num1/2,num2)

  若是num1爲奇數,num2爲奇數 f(num1,num2)=f(num1-num2,num2)

  又由於除2能夠用>>1來表示，移位操做符的效率是很高的

int gcd(int num1,int num2)
{
	if(num2==0)
		return num1;
	if(num1<num2)
		return gcd(num2,num1);

	if(!num1&0x01)
	{
		if(!num2&0x01)
			return 2*gcd(num1>>1,num2>>1);
		else
			return gcd(num1>>1,num2);
	}
	else
	{
		if(!num2&0x01)
			return gcd(num1,num2>>1);
		else
			return gcd(num1-num2,num2);
	}

}

參考書籍：《編程之美》