深度優先搜索(Depth-first search)是如何搜索一張圖的？

思想：對於最新發現的頂點v，若是它還有以此爲起點而還未探索的邊，沿此邊探索。若是v的全部邊已經探索完了，再回溯到發現v有起始點的那些邊。一直到已經探索了從源起點可到的全部頂點爲止。若是還有沒探索的頂點，將它定義爲一個新的源頂點，繼續上述過程。

像走迷宮同樣，嘗試每種可能的結果，沒走通，就回溯到當初分叉的路口，繼續探索

探索整個的圖

DFS(V,Adj):
    parent={}
    for s in V: //遍歷圖中全部的點
        if s not in parent: //點沒有遍歷過就繼續探索
            parent[s]=None //源點不設置父節點
            DFS-Visit(Adj,s) //探索當前源頂點可以到達的全部的點
複製代碼

給定一個源頂點s,DFS的實現方式

DFS-Visit(Adj,s):
   for v in Adj[s]: //遍歷全部的邊
       if v not in parent: //當前邊沒有遍歷過
           parent[v]=s //記錄已經遍歷
           DFS-Visit(adj,v) //優先探索當前節點的邊,完成以後，再執行回溯（經過循環實現）
複製代碼

以有向圖爲例
假設按照字母的順序來遍歷全部的頂點，即V=[a,b,c,d,e,f]，原始的圖爲

1. 第一步探索a到b的邊，發現b還有邊，一直往下走，直到d爲止，d沒有往下走的邊，第一個DFS-Visit執行結束

2. 開始回溯,先回溯到d的父節點e,一樣沒有，一直到a，a的另外一條邊是a到d,可是d已經探索過，再也不操做

3. 換源點執行探索，此時爲b,可是b已經探索過，再探索c發現僅一條邊對應的f沒探索過

4. 繼續更換源點一直到f,都沒有新的還沒有探索過的邊，最終DFS探索生成了兩顆深度優先樹

深度優先樹指的是通過DFS生成的樹，結果爲3中的橙色箭頭所指的兩個部分

時間複雜度

O(V+E);它的遍歷規則仍然須要遍歷全部的節點一遍，對於每條變來說，只有沒有遍歷過的才作一次遍歷

深度優先搜索的用途是什麼？

1. 邊分類

• 樹邊。若是頂點v是在探尋邊(u,v)首次發現的，那麼(u,v)是樹邊，好比圖中(a,b)
• 正向邊。u到v的某個非樹邊，好比圖中(a,d),a到d存在邊，可是沒有進入樹中
• 反邊。 鏈接u到它的祖先頂點v的邊，好比圖中的(d,b)
• 交叉邊。生成的樹中，兩個頂點不存在父子關係。好比圖中的 (g,d)

在算法中，樹邊判斷經過parent就能夠看出，parent的逆向就是樹邊，得以標識；

反邊判斷，能夠在源點開始作一個標記，把全部的通過的節點都放入棧中，若是下次獲得的頂點在棧中，那麼這條邊就是反邊；

如何判斷在一個圖中是否存在環？

圖G存在環，當且僅當圖中存在一條反邊。證實以下：

• 存在環，證實有反邊。假設從環中選取一個點,做爲DFS遍歷的第一個頂點，證實 (,)是反邊：已知事實是，訪問前，一定已經訪問完,訪問前，一定已經訪問完,當訪問到再下一個查看的時候，已經在棧中，那麼(,)是反邊

• 存在反邊,證實有環。首先s到t必然存在樹邊，而後t到s是一條反邊，那必然成環

2. Job調度

Job自己是個無環的有向圖，各個頂點之間一定存在着必定的順序，執行的時候等前面的執行完才能再執行排在後面的

它使用的算法稱做拓撲排序，拓撲排序內部使用的就是DFS，輸出爲完成時的頂點的逆序，就排序好了(以前記錄的是parent的指向,真正的執行是先parent)

這種排序產生的結果是，假設圖中全部的頂點放在同一個水平線上，那麼全部的方向均是從左到右

證實

只須要證實，對於任何一個邊e=(u,v)，在v執行完以後，u才執行完

• u的訪問發生在v以前：因爲u,v之間存在一條邊，那麼在u執行完以前，確定爲訪問v,而等v完成後，才能完成u
• v的訪問在u以前:因爲u和v之間存在一條邊，若是先訪問了v,若是存在v到u的路徑，這樣會有環，因此根本不會執行u,也就是說，v先執行完

附錄

算法導論(MIT 6.006 第14講)