還零錢

題目描述

考慮僅用1分、5分、10分、25分和50分這5種硬幣支付某一個給定的金額。例如須要支付11分錢，有一個1分和一個10分、一個1分和兩個5分、六個1分和一個5分、十一個1分這4種方式。
請寫一個程序，計算一個給定的金額有幾種支付方式。
注：假定支付0元有1種方式。

輸入描述:

輸入包含多組數據。

每組數據包含一個正整數n（1≤n≤10000），即須要支付的金額。

輸出描述:

對應每一組數據，輸出一個正整數，表示替換方式的種數。

示例1

輸入

複製

11
26

輸出

複製

4
13

思路：使用動態規劃來作，dp[i][j]表示前i種零錢換總金額爲j的方法種數：
若是第i種貨幣參與換算，那麼第i中貨幣可能有0個，1個，2個，3個...k個，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1*money[i]] + dp[i-1][j-2*money[i]] +...+ dp[i-1][j-k*money[i]],其中k*money[i] <= j
　　遞歸遞推公式：
　　　　dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1*money[i]] + dp[i-1][j-2*money[i]] +...+ dp[i-1][j-k*money[i]],其中k*money[i] <= j
　　那麼,將j = j - money[i]進行替換，則
　　　　dp[i][j-money[i]] = dp[i-1][j-1*money[i]] + dp[i-1][j-2*money[i]] +...+ dp[i-1][j-k*money[i]],其中k*money[i] <= j
　　將上面兩個等式進行合併，那麼：
　　　　dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-money[i]]

若是第i種貨幣不參與換算，那麼:
　　dp[i][j] = dp[i-1][j]

最後代碼實現以下：

money=[1,5,10,25,50]
dp = []
def getCount(n):
    for i in xrange(5):
        dp.append((n+1)*[0])
        dp[i][0] = 1
    for i in xrange(n+1):
        dp[0][i] = 1
    for i in xrange(1,5):
        for j in xrange(1,n+1):
            if j < money[i]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-money[i]]
getCount(10000)
while True:
    n = int(raw_input())
    if n:
        print dp[4][n]
    else:
        break

優化：二維數組每次都是隻用到了2個數，那麼應該能夠用一維數組進行優化，它的表示是：dp[i]：總金額爲i的換零錢的方法數目。

dp[0] = 1,由題目意思可得

dp[i] = dp[i-money[0]] + dp[i-money[1]] + dp[i-money[2]] + dp[i-money[3]] + dp[i-money[4]],其中i >= money[j],j=0..4

意思是，第i種狀態，由前面幾種狀態轉化而來的，相似於跳臺階。

代碼以下：

money=[1,5,10,25,50]
dp = [0] * 10001
dp[0] = 1
def getCount(n):
    for i in xrange(5):
        j = money[i]
        while j < n:
            dp[j] += dp[j-money[i]]
            j = j + 1
getCount(10001)
while True:
    try:
        n = int(raw_input())
        print dp[n]
    except:
        break