Luogu1445 [Violet]櫻花 ---- 數論優化

Luogu1445 [Violet]櫻花

一句話題意：（原本就是一句話的）

求方程 $\frac{1}{X} + \frac{1}{Y} = \frac{1}{N!}$ 的正整數解的組數，其中$N \leq 10^6$

 

題解：

差很少是第一篇公開的題解，由於之前的太爛了，不敢發......

咱們觀察到提交記錄發現彷佛時間有從200ms+到8ms-的，然而標準題解中給出的代碼就是跑的比較慢的......

因此有沒有什麼快一點的呢？

假設此時你已經用樸素算法A過此題

因而咱們分析算法：

樓下題解的複雜度是$O(nlogn+常數的)$，平均200ms

有沒有什麼更快的呢？

假設咱們分析到了

$A*B=(n!)*(n!)$

的時候發現最終求的就是約數個數

首先若是求m的約數個數的話，那麼對m分解獲得

$m=p_1^{k_1}*p_2^{k_2}...$

其中$p_1,p_2,p_3...$都是質數

那麼根據乘法原理

$Ans = (k_1 + 1) * (k_2 + 1)...$

而後對於階乘來講，對n!作質因數分解實則在分解1 * 2 * ... * n

然而這個就是樸素的作法，然而因爲你實則是須要求質因數的指數，而在《初等數論》中有

$\Sigma(p \leq n, p \  is \  a \  prime)\Sigma_{k=0}^{p^k \leq n}(\lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor)$

因此咱們直接遞歸（或者非遞歸地）跑這個公式便可

實際食用：枚舉質數（或打表）（在階乘下質因數等價於質數）（O(n)），而後對於全部質數，跑公式。

n內大約有n/ln(n)個質數，而後每次作都是log的，因此複雜度爲O(n/ln(n) * log(n))=O(n)，常數小，瓶頸在篩質數那......

代碼以下：

 1 //Source Code
 2 
 3 const int MAXN = 1000111;
 4 const int MODS = 1000000007;
 5 
 6 int n, tot;
 7 int prime[MAXN];
 8 bool is_not_prime[MAXN];
 9 
10 inline void Get_Prime(){
11     for(int i = 2; i <= n; i++){
12         if(!is_not_prime[i])
13             prime[++tot] = i;
14         for(int j = 1; j <= tot; j++){
15             if(i * prime[j] > n) break;
16             is_not_prime[i * prime[j]] = true;
17             if(!(i % prime[j])) break;
18         }
19     }
20 }
21 
22 inline int Get_D(const int &tar, const int &p){
23     if(tar < p) return 0;
24     return tar / p + Get_D(tar / p, p);
25 }
26 
27 int main(){
28     Main_Init();
29     n = read();
30     Get_Prime();
31     long long ans = 1;
32     for(int i = 1; i <= tot; i++)
33         (ans *= (Get_D(n, prime[i]) << 1) + 1) %= MODS;
34     write('\n', ans);
35     Main_Init();
36     return 0;
37 }