二叉樹的存儲結構和遍歷算法

1. 二叉樹的存儲結構

1.1 順序存儲結構

順序存儲一棵二叉樹時，首先對該樹中的每一個結點進行編號，而後以各結點的編號爲下標，把各結點的值對應存儲到一個一位數組中。每一個結點的編號與等深度的滿二叉樹中對應結點的編號相等，即樹根結點的編號爲1，接着按照從上到下和從左到右的次序，若一個結點的編號爲i，則左、右孩子的編號分別爲2i和2i+1。如圖，各結點上方的數字就是該結點的編號。

假設分別採用一維數組data1和data2來順序存儲上圖的兩棵二叉樹，則兩數組中各元素的值以下圖所示。

在二叉樹的順序存儲結構中，各結點之間的關係是經過下標計算出來的，所以訪問每個結點的雙親和左、右孩子都很是方便。如對於編號爲i的結點，其雙親結點的下標爲⌊i/2⌋，若存在左孩子，則左孩子結點的下標爲2i，若存在右孩子，則右孩子結點的下標爲2i+1。

二叉樹的順序存儲結構對於存儲徹底二叉樹是合適的，它可以充分利用存儲空間，但對於通常二叉樹，特別是對於那些單支結點較多的二叉樹來講是很不合適的，由於可能只有少數存儲位置被利用，而多數或絕大多數的存儲位置空間着。

1.2 連接存儲結構

 在二叉樹的連接存儲中，一般採用的方法是，在每一個結點中設置3個域：值域、左指針域和右指針域。其結點結構爲：

連接存儲的另外一種方法是：在上面的結點結構中再增長一個parent指針域，用來指向其雙親結點。這種存儲結構既便於查找孩子結點，也便於查找雙親結點，固然也帶來存儲空間的相應增長。

同單鏈表相同，二叉鏈表既可由獨立分配的結點連接而成，也可由數組中的元素結點連接而成。

若採用獨立結點，則結點類型可定義爲：

1 struct BTreeNode {
2     ElemType data;
3     BTreeNode* left;
4     BTreeNode* right;       
5 };

若採用元素結點，則結點類型可定義爲：

1 struct ABTreeNode {
2     ElemType data;
3     int left, right;
4 };

元素結點從下標爲1的位置起使用，下標爲0的位置的左指針域一般用來存儲樹根指針，右指針域一般用來存儲空閒鏈表的表頭指針，空閒鏈表由空閒結點的right域連接而成。

2. 二叉樹遍歷

二叉樹遍歷算法有：前序遍歷、中序遍歷、後序遍歷和按層遍歷。

若將跟結點、左子樹和右子樹分別用D、L和R表述，則前序遍歷順序爲DLR，中序遍歷順序爲LDR，後序遍歷順序爲LRD。

對於上圖二叉樹，

前序遍歷爲：ABCDEFG

中序遍歷爲：CBDAEGF

後序遍歷爲：CDBGFEA

按層遍歷爲：ABECDFG

2.1 前序遍歷算法

1 void PreOrder(BTreeNode* BT) {
2     if(BT != NULL) {
3         cout << BT->data << ' ';     //訪問根結點
4         PreOrder(BT->left);          //前序遍歷左子樹
5         PreOrder(BT->right);         //前序遍歷右子樹
6     }
7 }

2.2 中序遍歷算法

1 void InOrder(BTreeNode* BT) {
2     if(BT != NULL) {
3         InOrder(BT->left);          //中序遍歷左子樹
4         cout << BT->data << ' ';    //訪問根結點
5         InOrder(BT->right);         //中序遍歷右子樹
6     }
7 }

2.3 後序遍歷算法

1 void PostOrder(BTreeNode* BT) {
2     if(BT != NULL) {
3         PostOrder(BT->left);        //後序遍歷左子樹
4         PostOrder(BT->right);       //後序遍歷右子樹
5         cout << BT->data << ' ';    //訪問根結點
6     }
7 }