The Tower of Hanoi（漢諾塔）問題深刻研究

漢諾塔問題是一個經典的「重複問題「（recurrent problem），解法也中所周知，最少移動步驟是2^n - 1。

然而，我發現，對這個問題進行進一步的研究也是挺有意思的。

本篇博客目前闡述三個Hanoi相關的三個問題（基本問題，擴展問題，變種問題）。

基本問題：

n個盤子，ABC三個地點，將A上的n個盤子移動到C上。最少的步驟是多少？

AC[n] = AB[n-1] + AC[1] + BC[n-1]

由於AC[n] = BC[n] = AB[n] := T(n)

因此以上等式能夠寫成T(n) = T(n-1) + 1 + T(n-1)，從而獲得T(n) = 2^n - 1

 

擴展問題

由基本問題的推導步驟，咱們知道，要在2^n - 1步內將n個盤子從A移動到C，那麼每一步都是固定的！

由此，產生如下問題：

通過k步移動後，每一個盤子的狀態是什麼？即，每一個盤子是在A，B仍是C上？

解法1： 對於這個問題，咱們固然能夠模擬K步移動來解的答案，可是，這是很是沒有效率的。由於K有可能很大，是2的指數級增加東西，因此，這種解法很是愚蠢！

咱們須要獲得的信息是每一個盤子的狀態，而不是每一步的具體移動步驟和狀態，因此，咱們需求的信息是相對較少的，也就必然有比解法1要好的多的解法。理想情況是O(n)時間複雜度，由於不可能比O(n)更小了，你須要要對看一看每一個盤子。

從基本問題的推導中，咱們能夠看到，漢諾塔問題的解決，不過是在不斷的重複和交換「起始點「 」中間點「 和 「目的點「。咱們以src， med， 和dst來標誌他們。由此，咱們很容易想到，咱們的解法也能夠是「重複"+"交換".

個人思路是先考察簡單狀況，好比盤子是2個，3個的狀況，獲得一個先驗的結論和體會。有興趣的朋友能夠試一下。

在考察完簡單狀況後，結合咱們的大方向"重複"+"交換",咱們很容易想到如下解法（若是你本身動手考察過簡單狀況的話，會比較容易理解）：

K = (a[n-1] a[n-2] ... a[1] a[0])的二進制表示. 其中a[i] = 0或者1. （這一步須要花費O(n)時間）

for i <- n-1 to 0

    if a[i] == 0

         p[i] = src; swap(med, dst);

    if a[i] == 1

         p[i] = dst; swap(src, med);

結束。

p[n-1] ... p[0]中的值就是各個盤子的狀態，算法時間複雜度爲O(n).

 

變種問題：

變種問題是，若是盤子的移動只能從A->B->C或者C->B->A，AC之間不能直接移動盤子，這個漢諾塔的問題會怎麼樣呢？咱們一樣考察以上兩個問題，即最少步驟和第K步狀態。

最小步驟的推導方法和基本漢諾塔問題一致，在此不贅述了，能夠獲得結論是3^n - 1.

關於第K步狀態，有點不同。若是咱們和基本漢諾塔問題的K步問題同樣的方法來考察這個問題的話，是能夠獲得結論的，可是，思路複雜而且耗時長（不信的朋友能夠試試）。

如下介紹一種nb的思路來解決這個問題，這個思路我本身沒想出來，是參考了一些資料才獲得的。

用3進制Gray Code來模擬移動過程！！！！！

朋友！你能想到麼？增長了附加的條件後，數學模型居然更加簡單了！

因而移動過程就是Gray Code從00000 增長到 222222 ， 因而恰好能夠用0 1 2來表徵狀態！！！有木有！！！

第K步的狀態能夠用3進制來表示後，設一個reverse flag（表徵某位是從0-1-2仍是2-1-0）。因而即可以用簡單的數學模型+重複+[每步reverse flag]來解決問題！時間複雜度爲O(n).

3進制gray code!!

路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索！