數據結構學習筆記（六）鏈表算法題

假期結束，看點題目。

第一題

問題

設順序表用數組A[]表示，表中元素存儲在數組下標1~m+n的範圍內，前m個元素遞增有序，後n個元素遞增有序，設計一個算法，使得整個順序表有序。
（1）給出算法的基本設計思想。
（2）根據設計思想，採用C或C++語言描述算法，關鍵之處給出註釋。
（3）說明你所設計算法的時間複雜度和空間複雜度。

解答

（1）算法基本設計思想：
將數組A[]中的m+n個元素（假設元素爲int型）當作兩個順序表，表L和表R。將數組當前狀態看作起始狀態，即此時表L由A[]中前m個元素構成，表R由A[]中後n個元素構成。要使A[]中m+n個元素總體有序只需將表R中的元素逐個插入表L中的合適位置便可。插入過程：取表
R中的第一個元素A[m+1]存入輔助變量temp中，讓temp逐個與A[m],A[m-1],…,A[1]進行比較，當temp<A[j]（1≤j≤m）時，將A[j]後移一位；不然將temp存入A[j+1]中。重複上述過程繼續插入A[m+2],A[m+3],……,A[m+n]，最終A[]中元素總體有序。

（2）算法描述

void Insert(int A[],int m,int n){
    int i,j;
    int temp;    //輔助變量，用來暫存待插入元素。

    for(i=m+1;i<=m+n;i++) {    //將A[m+1…m+n]插入到A[1…m]中。
    temp=A[i];
    for(j=i-1;j>=1&&temp<A[j];j--)
        A[j+1]=A[j];    //元素後移，以便騰出一個位置插入temp。
    A[j+1]=temp;    //在j+1位置插入temp。
    }
}

（3）算法時間和空間複雜度
①本題的規模由m和n共同決定。取最內側循環中A[j+1]=A[j];這一句做爲基本操做，其執行次數在最壞的狀況下爲：f(m,n)=(m+m+n-1)n/2=mn+n2/2–n/22
②算法額外空間中只有一個變量temp，所以空間複雜度爲O(1)。

第二題

問題

已知遞增有序的單鏈表A,B（A,B中元素個數分別爲m,n且A,B都帶有頭結點）分別存儲了一個集合，請設計算法以求出兩個集合A和B的差集A-B（即僅由在A中出現而不在B中出現的元素所構成的集合）。將差集保存在單鏈表A中，並保持元素的遞增有序性。

（1）給出算法的基本設計思想。
（2）根據設計思想，採用C或C++語言描述算法，關鍵之處給出註釋。
（3）說明你所設計算法的時間複雜度。

解答

（1）算法基本設計思想：
只需從A中刪去A與B中共有的元素便可。因爲兩個鏈表中元素是遞增有序的因此能夠這麼作：設置兩個指針p, q開始時分別指向A和B的開始結點。循環進行如下判斷和操做，若是p所指結點的值小於q所指結點值，則p後移一位；若是q所指結點的值小於p所指結點的值，則q後移一位；若是二者所指結點的值相同，則刪除p所指結點。最後p與q任一指針爲NULL的時候算法結束。

（2）算法描述：

void Difference(LNode *&A, LNode *B) {
    LNode *p = A->next, *q = B->next; //p和q分別是鏈表A和B的工做指針。
    LNode *pre = A;
    LNode *r;
    while(p　!= NULL　&&　q　!= NULL) {
        if(p->data < q->data) {
            pre = p;   //pre 爲A中p所指結點的前驅結點的指針。
            p = p->next;  //A鏈表中當前結點指針後移。
        }
        else if (p->data > q->data)
            q = q->next;
        else {
            pre->next = p->next;    //B 鏈表中當前結點指針後移。
            r = p;    //處理A，B中元素值相同的結點，應刪除。
            p = p->next;
            free(r);    // 刪除結點。
        }
    }
}

（3）算法時間複雜度分析：
由算法描述可知，算法規模由m和n共同肯定。算法中有一個單層循環，循環內的全部操做都是常數級的，所以能夠用循環執行的次數做爲基本操做執行的次數。可見循環執行的次數即爲p, q兩指針沿着各自鏈表移動的次數，考慮最壞的狀況，即p, q都走完了本身所在的鏈表，循環執行m+n次。即時間複雜度爲O(m+n)。

第三題

問題

設計一個算法，將順序表中的全部元素逆置。

解答

兩個變量i，j指示順序表的第一個元素和最後一個元素，交換i，j所指元素，而後i向後移動一個位置，j向前移動一個位置，如此循環，直到i與j相遇時結束，此時順序表L中的元素已經逆置。

void reverse(Sqlist &L) {  //L要改變，用引用型
    int i,j;
    int temp; //輔助變量，用於交換
    for(i=1,j=L.length;i<j;i++,j--) {  //當i與j相遇時循環結束
        temp=L.data[i];
        L.data[i]=L.data[j];
        L.data[j]=temp;
    }
}

注意：本題中 for 循環的執行條件要寫成i < j 而不要寫成i != j 。若是數組中元素有偶數個則 i 與 j 會出現下圖所示狀態，此時i 繼續往右走，j 繼續往左走，會互相跨越對方，循環不會結束。

第四題

問題

設計一個算法，從一給定的順序表L中刪除下標i到j（i≤j，包括i，j）之間的全部元素，假定i,j都是合法的。

解答

本題是順序表刪除算法的擴展，能夠採用以下方法解決，從第j+1個元素開始到最後一個元素爲止，用這之間的每一個元素去覆蓋從這個元素開始往前數第j-i+1個元素，便可完成刪除i~j之間的全部元素。

本題代碼以下：

void Delete(Sqlist &L,int i,int j) { //L要改變，用引用型。
    int k,l;
    l = j-i+1; //元素要移動的距離。

    for(k = j + 1;k <= L.length; k++) {
        L.data[k-l] = L.data[k]; //用第k個元素去覆蓋它前邊的第l個元素。
    }

    L.length -= l; //表長改變。
}

第五題

問題

有一個順序表L，其元素爲整型數據，設計一個算法，將L中全部小於表頭元素的整數放在前半部分，大於的整數放在後半部分，數組從下表1開始存儲。

解答

本題能夠這樣解決，先將L的第一個元素存於變量temp中，而後定義兩個整型變量i,j。i從左往右掃描，j從右往左掃描。邊掃描邊交換。具體執行過程以下：

各步的解釋以下：
①開始狀態，temp = 2,i = 1; j = L.length
②j先移動，從右往左，邊移動邊檢查j所指元素是否比2小，此時發現-1比2小，則執行L.data[i]=L.data[j];i++;（i中元素已經被存入temp因此能夠直接覆蓋，而且i後移一位，準備開始i的掃描）
③i開始移動，從左往右，邊移動邊檢測，看是否i所指元素比2大，此時發現-7比2小，所以i在此位置是什麼都不作。
④i繼續往右移動，此時i所指元素爲-3也比2小，此時什麼都不作。
⑤i繼續往右移動，此時i所指元素爲5，比2大，所以執行L.data[j] = L.data[i]; j--（j中元素已被保存，j前移一位，準備開始j的掃描）
⑥j往左運動，此時j所指元素爲6，比2大，j在此位置時，什麼都不作。
⑦j繼續往左移動，此時j==i，說明掃描結束。
⑧執行L.data[i] = temp;此時整個過程結束，全部比2小的元素被移到了2前邊，全部比2大的元素被移到了2後邊。

以上過程要搞清楚兩點：
①i和j是輪流移動的，即當i找到比2大的元素時，將i所指元素放入j所指位置，i停在當前位置不，j開始移動。j找到比2小的元素，將j所指元素放在i所指位置，j停在當前位置不動，i開始移動如此交替直到i==j。
②每次元素覆蓋（好比執行L.data[i] = L.data[j];）不會形成元素丟失，由於在這以前被覆蓋位置的元素已經存入其餘位置。由以上分析可寫出以下算法：

void move(Sqlist &L) { //L要改變因此用引用型
    int temp;
    int i = 1,j = L.length;
    temp = L.data[i];
    while(i<j){
        /*關鍵步驟開始*/

        while(i < j&&L.data[j] > temp) 
            j--; 
            //j從左往右掃描，當來到第一個比temp小的元素時中止        ,而且每走一步都要判斷i是否小於j,這個判斷容易遺漏。

        if(i < j) { //檢測看是否已仍知足i < j，這一步一樣很重要
            L.data[i] = L.data[j]; //移動元素。
            i++; //i右移一位。
        }

        while(i < j&&L.data[i] < temp) i++; //與上邊的處理相似。
        if(i < j) { //與上邊的處理相似。
            L.data[j] = L.data[i]; //與上邊的處理相似。
            j--;
        }
        /*關鍵步驟結束*/
    }

    L.data[i] = temp; //將表首元素放在最終位置。
}