組合數學—排列組合

時間 2019-12-06

標籤組合數學排列組合简体版

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注：原創不易，轉載請務必註明原做者和出處，感謝支持！app

一寫在開頭

這個學期學習了組合數學這門課程，趁如今有時間作一下總結。整個課程的脈絡以下圖：學習

1.1 本文內容

本文的內容爲排列組合，內容分解圖以下。編碼

二計數法則

2.1 加法法則（分類加法計數）

假設有兩個互斥的事件$A$與事件$B$，事件$A$有$m$種產生方式，事件$B$有$n$種產生方式，則事件$A$或事件$B$有$m+n$種產生方式。spa

2.2 乘法法則（分步乘法計數）

假設有兩個相互獨立的事件$A$與事件$B$，事件$A$有$m$種產生方式，事件$B$有$n$種產生方式，則事件$A$和事件$B$有$m \cdot n$種產生方式。code

2.3 一一對應法則

假設事件$A$的產生方式與事件$B$的產生方式一一對應，則事件$A$的產生方式數與事件$B$產生的方式數相等。blog

要對$A$集合計數，但直接計數有困難，因而可設法構造一易於計數的$B$，使得$A$與$B$一一對應。事件

三排列與組合的定義及其計算公式

3.1 排列

定義：從$n$個不一樣的元素中，取$r$個不重複的元素，按次序排列，稱爲從$n$中取$r$個的排列。
排列數記爲$p(n, r)$
排列數$p(n, r)$的計算方法：至關因而從$n$個不一樣的球中取出$r$個，依次放入$r$個不一樣的盒子當中。所以，第一個盒子有$n$種選擇，第二個盒子有$n-1$種選擇，......，第$r$個有$n-(r-1)$種。所以可得排列數的計算公式以下：

\[ \begin{equation} \begin{split} P(n, r) &= n \cdot (n-1) \cdot (n-2)......(n-r+2)(n-r+1)\\ &= n! \verb|/| (n-r)! \end{split} \end{equation} \]數學

特別地，當$r=n$時，稱爲全排列，$p(n, n)=n!$string

3.2 組合

定義：從$n$個不一樣元素中取$r$個元素，且不考慮順序，稱爲從$n$箇中取$r$個的組合。
組合數用$c(n,r)$或者$\tbinom{n}{r}$來表示
與排列不一樣的是，組合只是至關於從$n$個球中選擇$r$個組合在一塊兒便可，與排列相比，無需$r$個球構成一個全排列這麼一個操做。所以，組合數的計算至關因而在排列數的基礎上除去一個$r$的全排列$r!$便可。因此

\[ \begin{equation} \begin{split} C(n,r) &= P(n, r) \verb|/| r!\\ &= n! \verb|/| \left[ (n-r)! \cdot r! \right] \end{split} \end{equation} \]

四圓排列與項鍊排列

4.1 圓排列

定義：從$n$個不一樣的元素中取$r$個元素排列在一個圓環上的排列
圓排列數用$Q(n,r)$來表示。由於圓排列的緣故，每$r$個首尾相連順序同樣的排列都只能算一種，以下圖所示，因此，圓排列數至關因而在排列數的基礎上除去$r$。因此

\[ Q(n, r) = P(n, r) \verb|/| r \]

\[ Q(n, n) = P(n, n) \verb|/| n = (n-1)! \]

4.2 項鍊排列

定義：項鍊排列如同項鍊通常，在圓排列的基礎上，逆時針方向和順時針方向的放置各個數是同一個排列。
所以項鍊排列的排列數爲$Q(n, r) \verb|/| 2 = P(n, r) \verb|/| 2r$

五可重排列與可重組合

5.1 可重排列

可重排列的定義：
設有$n$種不一樣的物體$a_1,a_2,...,a_n$，
第一種物體$a_1$有相同的$k_1$個，
第二種物體$a_2$有相同的$k_2$個，
......
第n中物體$a_n$有相同的$k_n$個，
從這$n$中物品裏取$r$個物品進行排列，稱爲$r$可重排列。

依據$r$和$k_i$的數量狀況能夠分爲如下三種狀況：

$r = k_1 + k_2 + ... + k_n$
$k_1 \ge r, k_2 \ge r, ... , k_n \ge r$或者$k_1 = \infty, k_2 = \infty, ..., k_n = \infty$
存在$k_i < r$

那麼對於上述三種狀況，如何計算它們的排列數呢？

對於狀況1，設$S =\left \{ k_1 \cdot a_1, k_2 \cdot a_2, ..., k_n \cdot a_n\right \}$，當$k_1 + k_2 + ... + k_n = r$時，從$n$種物品中取$r$個物品的全體排列數用$P(r;k_1, k_2,...,k_n)$或$\tbinom{r}{k_1 k_2 ... k_n}$表示。則

\[ P(r;k_1, k_2, ..., k_n) = r! \verb|/| (k_1 ! \cdot k_2 ! \cdot ... \cdot k_n !) \]

證實過程略

對於狀況2，有
\[ P(r; a_1 \cdot \infty, a_2 \cdot \infty, ..., a_n \cdot \infty) = n^r \]
證實過程略。

對於狀況3，沒有一個現成的公式能夠計算其排列數。

5.2 可重組合

可重組合的定義：
有$n$種不一樣的物品，構成集合$S =\left \{ k_1 \cdot a_1, k_2 \cdot a_2, ..., k_n \cdot a_n\right \}$，從這$n$種物品中取出$r$個物品的組合，稱爲$r$可重組合。對於可重組合能夠分紅如下兩種特殊狀況：

$k_i > r~(i = 1, 2, ..., n)$
$a_1 ,a_2, ..., a_n$至少出現一次的組合

對於狀況1，有
\[ C(r; a_1 \cdot \infty, a_2 \cdot \infty, ..., a_n \cdot \infty) = \tbinom{r + n - 1}{r} \]

簡要證實：
第1步：問題至關於$r$個相同的球放入$n$個互異的盒子，每一個盒子的數目能夠不一樣，求總的方案數

第2步：上述問題又能夠轉換爲$r$個相同的球與$n-1$個相同的盒壁的排列問題

所以，排列數爲：
\[ (r+n-1)! \verb|/| (r! \cdot (n - 1)!) = \tbinom{n+r-1}{r} \]

對於狀況2，$a_1 ,a_2, ..., a_n$至少出現一次的組合數爲$\tbinom{r-1}{r-n}$

簡要證實：
由於$a_1 ,a_2, ..., a_n$至少出現一次，因此，先取出$a_1 ,a_2, ..., a_n$各一個，剩下的問題就轉化爲從$n$中取$r-n$個的可放回組合問題。所以，組合數爲：
\[ \tbinom{r-n+n-1}{r-n} = \tbinom{r-1}{r-n} \]

六若干組合等式

6.1 Stirling近似公式

Stirling公式給出了一個求$n!$的近似公式。

\[ n! \approx \sqrt{2n\pi} (\frac{n}{e})^n \]

6.2 Pascal公式

\[ \tbinom{n}{k} = \tbinom{n-1}{k} + \tbinom{n-1}{k-1} \]

該公式至關直觀，證實也至關簡單：
令$S$是$n$個元素的集合，任取一個元素用$x$表示，則$S$的$k-$組合的集合能夠劃分爲不包含$x$的$k-$組合和包含$x$的$k-$組合，因而
\[ \tbinom{n}{k} = \tbinom{n-1}{k} + \tbinom{n-1}{k-1} \]

6.3 二項式定理及二項式係數

設$n$是正整數，對任意的$x$和$y$有：
\[ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \tbinom{n}{k} x^k y^{n-k} \]

其中$\tbinom{n}{k}$爲二項式係數。

根據上述二項式定理，有如下推論：

令$y=1$有：
\[ (1+x)^n = \sum_{k=0}^n \tbinom{n}{k} x^k = \tbinom{n}{0} + \tbinom{n}{1}x + ... + \tbinom{n}{n}x^n \]

令$y = 1, x = -x$有：
\[ (1-x)^n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \tbinom{n}{k}x^k = \tbinom{n}{0} - \tbinom{n}{1}x + ... + \tbinom{n}{n}(-1)^k x^n \]

令$x = 1, y = 1$有：
\[ \tbinom{n}{0} + \tbinom{n}{1} + ... + \tbinom{n}{n} = 2^n \]

令$x = -1, y = 1$有：
\[ \tbinom{n}{0} - \tbinom{n}{1} + \tbinom{n}{2} ... + (-1)^n \tbinom{n}{n} = 0 \]

6.4 多項式定理

設$n$是正整數，則對一切實數$x_1, x_2, ..., x_m$有：
\[ \begin{equation} \begin{split} (x_1 + x_2 + ... + x_m)^n &= \sum_{n_1 + n_2 + ... + n_m = n} \frac{n!}{n_1 ! \cdot n_2 ! ... n_m !}x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_m^{n_m}\\ &= \sum_{n_1 + n_2 + ... + n_m = n}\tbinom{n}{n_1 n_2 ... n_m}x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_m^{n_m} \end{split} \end{equation} \]
其中$\tbinom{n}{n_1 n_2 ... n_m}$爲多項式係數。

6.5 牛頓二項式定理

設$\alpha$是一個實數。則對於全部知足$0 \leq \vert x \vert < \vert y \vert $的$x$和$y$有：

\[ (x+y)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \tbinom{\alpha}{k} x^k y^{\alpha - k} \]
其中
\[ \tbinom{\alpha}{k} = \begin{cases} 0 & k < 0\\ 1 & k = 0\\ \frac{\alpha (\alpha - 1) ... (\alpha - k + 1)}{k!} & k > 0 \end{cases} \]

6.6 組合恆等式

下面是一些組合恆等式，證實過程略。
\[ \tbinom{n}{r} = \tbinom{n}{n-r} \]

\[ \tbinom{n}{1}^2 + 2\tbinom{n}{2}^2 + ... + n\tbinom{n}{n}^2 = n \cdot \tbinom{2n-1}{n-1} \]

\[ \tbinom{n}{r} = \tbinom{n-1}{r-1} + \tbinom{n-2}{r-1} + \tbinom{n-3}{r-1} + ... + \tbinom{r-1}{r-1} \]

\[ \tbinom{n}{l}\tbinom{l}{r} = \tbinom{n}{r}\tbinom{n-r}{l-r} \neq \tbinom{n}{r} \]

\[ \tbinom{n}{0} + \tbinom{n}{1} + \tbinom{n}{2} + ... + \tbinom{n}{n} = 2^n \]

\[ \tbinom{m+n}{r} = \tbinom{m}{0}\tbinom{n}{r} + \tbinom{m}{1}\tbinom{n}{r-1} + ... + \tbinom{m}{r}\tbinom{n}{0} \]

\[ \tbinom{n}{k} = \frac{n}{n-k}\tbinom{n-1}{k} \]

\[ \tbinom{n}{k} = \frac{n-k+1}{k}\tbinom{n}{k-1} \]

\[ \sum_{k=0}^m \tbinom{m}{k}\tbinom{n}{l+k} = \tbinom{m+n}{m+l} \]

七生成算法

生成算法也叫構造算法，生成算法完成的功能是將全部知足要求的排列或組合無重複，無遺漏地枚舉出來

7.1 排列生成算法

排列的構造算法主要有直接法，字典序法，序列法，逆序數法，鄰位對換法等等，接下來要介紹其中的一種：字典序法。

字典序法：從天然順序123...n開始，按照字典序依次構造集合{1, 2, ..., n}的全部全排列，由一個排列構造下一個排列的算法以下：

從$p_1 p_2 ... p_n$從右向左掃描，找出比右鄰數字小的第1個數字$p_i$
對$p_1 p_2 ... p_n$從右向左掃描，找出比$p_i$大的第一個數$p_j$
將$p_i$和$p_j$互換獲得$b_1 b_2 ... b_n$
將$b_1 b_2 ... b_n$中的$b_{i+1}$到$b_n$部分的順序逆序，獲得$b_1 b_2 ... b_n ... b_{i+1}$即爲下一個排列

該算法流程很清晰，能夠用C++實現以下：

void generate_permutations(vector<string> &v, int n)
{
    if (n < 1)
        return ;

    // 構建初始和結束排列
    string first, last;
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        first.push_back(char('0' + i));
        last.push_back(char('0' + n - i + 1));
    }
    v.push_back(first);

    // 依次產生下一個排列並加入向量中
    string next, current = first;
    while (current != last)
    {
        // 尋找要對換的兩個數的位置pi和pj
        decltype(current.length()) i, j, pi, pj;
        for (i = current.length() - 1; i >= 1; i--)
            if (current[i-1] < current[i]){
                pi = i - 1;
                break;
            }
        for (i = current.length() - 1; i > pi; i--)
            if (current[i] > current[pi]){
                pj = i;
                break;
            }

        // 對換
        next = current;
        char tmp = next[pi];
        next[pi] = next[pj];
        next[pj] = tmp;

        // 翻轉
        for (i = pi + 1, j = next.length() - 1; i < j; i++, j--){
            char tmp = next[i];
            next[i] = next[j];
            next[j] = tmp;
        }
        v.push_back(next);
        current = next;
    }
}

7.2 組合生成算法

組合的構造算法主要有字典序法，二進制編碼法等等，這裏介紹前一種算法。算法的詳細過程敘述以下：
從{1, 2, ..., n}中取r-組合表示爲$C_1 C_2 ... C_r$，令$C_1 < C_2 < ... < C_r$，其中有$C_i \leq (n-r+i), i = 1, 2, ..., r$
則生成後續組合的規則以下

對$C_1 C_2 ... C_r$從右到左掃描，找出第一個知足$C_i < (n-r+i)$的$i$
$C_i \leftarrow C_i + 1$
$C_j \leftarrow C_{j-1} + 1, j=i+1, i+2, ..., r$

一樣，上述算法能夠用C++實現以下：

void generate_combinations(vector<string> &v, int n, int r)
{
    if ((r < 1) || (r > n))
        return ;

    // 構建初始和結束組合
    string first, last;
    for (int i = 0; i < r; i++){
        first.push_back(char('0' + i + 1));
        last.push_back(char('0' + n - r + i + 1));
    }
    v.push_back(first);

    // 依次產生下一個組合並加入向量中
    string next, current = first;
    while (current != last)
    {
        decltype(current.length()) i, j, pi;
        for (i = current.length() - 1; i >= 0; i--)
            if ((current[i] - '0') < (n - r + i + 1)){
                pi = i;
                break;
            }

        next = current;
        next[pi] = next[pi] + 1;
        for (j = pi + 1; j < r; j++)
            next[j] = next[j-1] + 1;

        v.push_back(next);
        current = next;
    }
}