數據結構---圖的相關總結

圖的相關概念

• 什麼是圖：圖（Graph）是由頂點的有窮非空集合和頂點之間邊的集合組成，一般表示爲：G(V,E)，其中，G表示一個圖，V是圖G中頂點的集合，E是圖G中邊的集合。

• 圖的分類：

  • 無向圖： 圖中任意兩個頂點之間的邊都是無向邊（頂點之間的邊沒有方向）。

  • 有向圖： 圖中任意兩個頂點之間的邊都是有向邊。

    注意：無向邊用小括號「()」表示，而有向邊則是用尖括號「<>」表示。

  • 無向徹底圖： 在無向圖中，若是任意兩個頂點之間都存在邊，則稱該圖爲無向徹底圖。含有n個頂點的無向徹底圖有$n(n-1)/2$條邊。
  • 有向徹底圖： 在有向圖中，若是任意兩個頂點之間都存在方向互爲相反的兩條弧，則稱該圖爲有向徹底圖。含有n個頂點的有向徹底圖有$n×(n-1)$條邊。
  • 網： 帶權的圖一般稱爲網.(圖的邊具備與它相關的數字叫作權,能夠表示從一個頂點到另外一個頂點的距離或耗費。)
  • 連通圖： 在無向圖中，對於圖中任意兩個頂點都是連通的（頂點i到頂點j有路徑）.
  • 強連通圖: 在有向圖中，對於圖中任意兩個頂點都是連通的。

  連通份量: 無向圖中的極大連通子圖稱爲連通份量。連通份量的概念強調：
  1.要是子圖；
  2.子圖要是連通的；
  3.連通子圖含有極大頂點數；
  4.具備極大頂點數的連通子圖包含依附於這些頂點的全部邊。

• 相關術語

  • 鄰接點:一條邊上的兩個頂點。

  • 度： 頂點v的度（Degree）是和v相關聯的邊的數目。對於有向，$頂點的度=頂點的入度+頂點的出度$

    注意：
    1.無向圖中全部頂點的度之和等於邊數的2倍，有向圖中全部頂點的入度之和等於全部頂點的出度之和。
    2.不管無向圖仍是有向圖，頂點數n，邊數e和度之間又以下關係：$E=(d[v1]+d[v2]+…+d[vn])/2$

  • 簡單路徑: 序列中頂點不重複出現的路徑稱爲簡單路徑。
  • 簡單迴路: 除了第一個頂點和最後一個頂點以外，其他頂點不重複出現的迴路，稱爲簡單迴路或簡單環。

代碼實現

圖的鄰接矩陣

無向圖：

• 某個頂點i的度，其實就是這個頂點i在鄰接矩陣中第i行（或第i列）的元素之和。
• 頂點i的全部鄰接點就是將矩陣中第i行元素掃描一遍，值爲1的爲鄰接點。

有向圖：

• 頂點i的入度爲第i列各數之和，出度爲第i行各數之和。

網：

鄰接矩陣對於邊數相對頂點較少的圖，存在對存儲空間的極大浪費的現象。因此這種存儲方式不適合稀疏圖。

圖的鄰接表

鄰接表：數組與鏈表相結合的存儲方式。
無向圖：

有向圖：

網圖：

$參考：https://www.zybuluo.com/guoxs/note/249812$$