多路查找樹

1、二叉樹與B樹

1，二叉樹的問題分析

　　二叉樹須要加載到內存的，若是二叉樹的節點少，沒有什麼問題，可是若是二叉樹的節點不少(好比 1 億)， 就存在以下問題:

        

• 問題 1：在構建二叉樹時，須要屢次進行 i/o 操做(海量數據存在數據庫或文件中)，節點海量，構建二叉樹時，速度有影響
• 問題 2：節點海量，也會形成二叉樹的高度很大，會下降操做速度。

2，多叉樹

• 在二叉樹中，每一個節點有數據項，最多有兩個子節點。若是容許每一個節點能夠有更多的數據項和更多的子節點，就是多叉樹（multiway tree）
• 2-3 樹，2-3-4 樹就是多叉樹，多叉樹經過從新組織節點，減小樹的高度，能對二叉樹進行優化。

       

3，B樹的基本介紹

　　B 樹經過從新組織節點，下降樹的高度，而且減小 i/o 讀寫次數來提高效率。

     

• 如圖 B 樹經過從新組織節點， 下降了樹的高度.
• 文件系統及數據庫系統的設計者利用了磁盤預讀原理，將一個節點的大小設爲等於一個頁(頁的大小一般爲 4k)，這樣每一個節點只須要一次 I/O 就能夠徹底載入
• 將樹的度 M 設置爲 1024(每一個節點的子節點的個數就稱爲該節點的度（degree）)，在 600 億個元素中最多隻須要 4 次 I/O 操做就能夠讀取到想要的元素, B 樹(B+)普遍應用於文件存儲系統以及數據庫系統中。

2、2-3樹

1，2-3樹的特色：

• 2-3 樹的全部葉子節點都在同一層.(只要是 B 樹都知足這個條件)
• 有兩個子節點的節點叫二節點，二節點要麼沒有子節點，要麼有兩個子節點
• 有三個子節點的節點叫三節點，三節點要麼沒有子節點，要麼有三個子節點
• 2-3 樹是由二節點和三節點構成的樹。

2，2-3樹應用案例：

　　將數列{16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 構建成 2-3 樹，並保證數據插入的大小順序。(演示一下構建 2-3樹的過程)

　  

插入規則：

1) 2-3 樹的全部葉子節點都在同一層.(只要是 B 樹都知足這個條件) 
2) 有兩個子節點的節點叫二節點，二節點要麼沒有子節點，要麼有兩個子節點. 
3) 有三個子節點的節點叫三節點，三節點要麼沒有子節點，要麼有三個子節點 
4) 當按照規則插入一個數到某個節點時，不能知足上面三個要求，就須要拆，先向上拆，若是上層滿，則拆本層， 拆後仍然須要知足上面 3 個條件。 
5) 對於三節點的子樹的值大小仍然遵照(BST 二叉排序樹)的規則

3，2-3-4樹

   

3、B樹、B+樹和B*樹

1，B樹的介紹

　　B-tree 樹即 B 樹，B 即 Balanced，平衡的意思。

 

　　

說明:

1. B樹的階：節點的最多子節點個數。好比2-3樹的階是3，2-3-4樹的階是4
2. B樹的搜索：從根結點開始，對結點內的關鍵字(有序)序列進行二分查找，若是命中則結束，不然進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點；重複，直到所對應的兒子指針爲空，或已是葉子結點
3. 關鍵字集合分佈在整棵樹中，即葉子結點和非葉子節點都存放數據
4. 搜索有可能在非葉子結點結束
5. 其搜索性能等價於在關鍵字全集內作一次二分查找

2，B+樹的介紹

　　B+樹是B樹的變體，也是一種多路搜索樹。

　　B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，並將原結點中1/2的數據複製到新結點，最後在父結點中增長新結點的指針；B+樹的分裂隻影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，因此它不須要指向兄弟的指針；

   

說明：

1. B+樹的搜索與B樹基本相同，區別是B+樹只有達到葉子結點才命中(B樹能夠在非葉子結點命中)，其性能也等價於在關鍵字全集作一次二分查找
2. 全部關鍵字都出如今葉子結點的鏈表中(即數據只能在葉子結點【也叫稠密索引】)，且鏈表中的關鍵字(數據)剛好是有序的
3. B+樹非葉子結點至關因而葉子結點的索引(稀疏索引)，葉子結點至關因而存儲(關鍵字)數據的數據層；B樹的非葉子結點也存儲數據(數據信息)，這樣致使每次加載io的數據量減少
4. 更適合文件索引系統
5. B數和B+樹各有本身的應用場景，不能說B+樹徹底比B樹好，反之亦然。

3，B*樹的介紹

　　B*樹是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增長指向兄弟的指針。

　　B*樹的分裂：當一個結點滿時，若是它的下一個兄弟結點未滿，那麼將一部分數據移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字（由於兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；若是兄弟結點也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增長新結點，並各複製1/3的數據到新結點，最後在父結點增長新結點的指針； 因此，B*樹分配新結點的機率比B+樹要低，空間使用率更高；

      

 說明：

1. B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少爲(2/3)*M，即塊的最低使用率爲2/3，而B+樹的快的最低使用率爲1/2
2. B*樹分配新結點的機率比B+樹要低，空間使用率更高