埃及分數 ----- 迭代加深搜索

題目：埃及分數

題目連接：http://codevs.cn/problem/1288/

題目大意：

　　給出一個分數，由分子a 和分母b 構成，如今要你分解成一系列互不相同的單位分數（形如：1/a，即分子爲1），要求：分解成的單位分數數量越少越好，若是數量同樣，最小的那個單位分數越大越好。

如：

　　19/45 = 1/3 + 1/12 + 1/180;

　　19/45 = 1/5 + 1/6 + 1/18;

　　以上兩種分解方法都要3個單位分數，但下面一個的最小單位分數1/18比上一個1/180大，因此第二個更優。

思路：

　　雖然是求最優解，但這道明顯不是廣搜吧（空間要求過高），並且很明顯是用深搜作，即從1~無窮，每個分母，都有選中和不選中兩種狀態，若是選中，那麼就減去這個分數，沒有就是跳過，但無窮究竟是哪裏呢，並且具體要選幾個呢，這就是這道題的難點。由於多組答案的優先級是由單位分數的個數首先決定，那麼咱們能夠逐次放寬個數的限制，即迭代加深搜索。

　　迭代加深搜索的具體內容：第一次，我限制只能用k個單位分數來完成，若是找完全部狀況，仍是沒找到解，那麼我如今用k+1個單位分數解決，這樣優勢以下：

　　1. 確定保證最優解，由於我用k個來完成分解就說明比k小的個數分解不出來，若是分解得出來，我在那時就退出循環了。

　　2. 雖然看似重複進行了不少遍的搜索，但上一層的搜索量和下一層比起來太少了，不影響總的時間複雜度。

拋開逐步解開個數限制外，每個個數限制下的作法和日常的深刻優先搜索大體相同，要注意剪枝！

主要的兩個剪枝以下：

　　1. 限制開頭：並非每次都要從1開始遍歷分母，假設如今要分解a/b，那麼分母b/a就是起點，由於b/a的分數太大，起始點已經超過了a/b，沒有什麼意義：1/(b/a)=a/b ，假設起點s<b/a，那麼顯而易見，起點的分數已經比咱們要的總和（a/b）大了。

　　2. 限制結尾：

　　　　（1）比較簡單的限制結尾能夠這樣看：若是我已經找到分母k了，而如今要分解得分數是a/b，如今還要找m個單位分數，那麼能夠想象：有可能 m * ( 1/k ) 還小於a/b，也就是說就算全是1/k，我湊夠m個，也達不到a/b，那麼說明前面的分配方案確定有無，直接能夠return了。加上這個剪枝已經能夠獲得答案了，只是時間有點慢罷了。

　　　　（2）如今咱們假設終點爲t，還要找m個單位分數，如今的分數剩下a/b，那麼很容易有m * (1/t) <= a / b  ，也就是說我若是m個都用最小的，確定小於等於a/b。（等於號就是說有可能m=1，我可能直接終點就是答案，若是m>1，那麼終點確定也不可能選到，假設選了（後面還要選（m-1）個，確定湊不夠）這樣子，由上面的式子，通過變換，能夠獲得 t >= m*b/a ，也就是說終點爲m*b/a。

有了思路代碼仍是很容易的：

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 #include<stdlib.h>
 4 
 5 int gcd(int a,int b)
 6 {
 7   return b?gcd(b,a%b):a;
 8 }
 9 
10 int ans[1000],ao;
11 int out[1000],oo;
12 
13 void dfs(int limit,int h,int ma,int mb)
14 {
15   if(h==limit) return ;
16   if(mb%ma==0 && mb/ma>ans[ao-1] && ( oo<=0 || mb/ma < out[oo-1] ))
17   {
18     ans[ao++]=mb/ma;
19     oo=ao;
20     memcpy(out,ans,sizeof(ans));
21     ao--;
22     return ;
23   }
24   int i=mb/ma-1;
25   if(i<=ans[ao-1]) i=ans[ao-1]; //ans[ao-1]就是前面找過的最後一個，這前面的都處理過（選中or不選中）
26   int j=(limit-h)*mb/ma;
27   while(++i<=j)
28   {
29     if(oo>0&&i>=out[oo-1]) return ;
30     int g=gcd(i,mb);
31     int k=i/g;
32     //if(ma*i/mb+h>limit) return ;
33     int x=mb*k;
34     int y=ma*k-mb/g;
35     if(y<0) continue;
36     ans[ao++]=i;
37     if(y==0)
38     {
39       oo=ao;
40       memcpy(out,ans,sizeof(ans));
41       ao--;
42       return ;
43     }
44     dfs(limit,h+1,y,x);
45     ao--;
46   }
47 }
48 
49 int main()
50 {
51   int a,b;
52   while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
53   {
54     ao=0;
55     oo=0;
56     for(int i=1;i<100;i++)
57     {
58       //printf("%d\n",i);
59       dfs(i,0,a,b);
60       if(oo>0) break;
61     }
62     for(int i=0;i<oo;i++)
63     {
64       if(i!=0) printf(" ");
65       printf("%d",out[i]);
66     }
67     printf("\n");
68   }
69   return 0;
70 }

AC代碼