[LeetCode] 470. Implement Rand10() Using Rand7() 使用Rand7()來實現Rand10()

 

Given a function rand7 which generates a uniform random integer in the range 1 to 7, write a function rand10 which generates a uniform random integer in the range 1 to 10.

Do NOT use system's Math.random().

 

Example 1:

Input: 1
Output: [7] 

Example 2:

Input: 2
Output: [8,4] 

Example 3:

Input: 3
Output: [8,1,10] 

 

Note:

1. rand7 is predefined.
2. Each testcase has one argument: n, the number of times that rand10 is called.

 

Follow up:

1. What is the expected value for the number of calls to rand7() function?
2. Could you minimize the number of calls to rand7()?

 

這道題給了咱們一個隨機生成 [1, 7] 內數字的函數 rand7()，須要利用其來生成一個能隨機生成 [1, 10] 內數字的函數 rand10()，注意這裏的隨機生成的意思是等機率生成範圍內的數字。這是一道頗有意思的題目，因爲 rand7() 只能生成1到7之間的數字，因此 8，9，10 這三個無法生成，那麼怎麼辦？大多數人可能第一個想法就是，再用一個唄，而後把兩次的結果加起來，範圍不就擴大了麼，擴大成了 [2, 14] 之間，而後若是再減去1，範圍不就是 [1, 13] 了麼。想法不錯，可是有個問題，這個範圍內的每一個數字生成的機率不是都相等的，爲啥這麼說呢，咱們來舉個簡單的例子看下，就好比說 rand2()，咱們知道其能夠生成兩個數字1和2，且每一個的機率都是 1/2。那麼對於 (rand2() - 1) + rand2()呢，看一下：

rand2() - 1 + rand()2  =   ?
   1            1          1
   1            2          2
   2            1          2
   2            2          3

咱們發現，生成數字範圍 [1, 3] 之間的數字並非等機率大，其中2出現的機率爲 1/2，1和3分別爲 1/4。這就不隨機了。問題出在哪裏了呢，若是直接相加，不一樣組合可能會產生相同的數字，好比 1+2 和 2+1 都是3。因此須要給第一個 rand2() 升一個維度，讓其乘上一個數字，再相加。好比對於 (rand2() - 1) * 2 + rand2()，以下：

（rand2() - 1） * 2 + rand()2  =   ?
     1                  1         1
     1                  2         2
     2                  1         3
     2                  2         4

這時右邊生成的 1，2，3，4 就是等機率出現的了。這樣就經過使用 rand2()，來生成 rand4()了。那麼反過來想一下，能夠經過 rand4() 來生成 rand2()，其實更加簡單，咱們只需經過 rand4() % 2 + 1 便可，以下：

rand4() % 2 + 1 =  ?
   1               2
   2               1
   3               2
   4               1

同理，咱們也能夠經過 rand6() 來生成 rand2()，咱們只需經過 rand6() % 2 + 1 便可，以下：

 rand6() % 2 + 1 =  ?
   1               2
   2               1
   3               2
   4               1
   5               2
   6               1

因此，回到這道題，咱們能夠先湊出 rand10*N()，而後再經過 rand10*N() % 10 + 1 來得到 rand10()。那麼，只須要將 rand7() 轉化爲 rand10*N() 便可，根據前面的講解，咱們轉化也必需要保持等機率，那麼就能夠變化爲 (rand7() - 1) * 7 + rand7()，就轉爲了 rand49()。可是 49 不是 10 的倍數，不過 49 包括好幾個 10 的倍數，好比 40，30，20，10 等。這裏，咱們須要把 rand49() 轉爲 rand40()，須要用到 拒絕採樣 Rejection Sampling，總感受名字很奇怪，以前都沒有據說過這個採樣方法，刷題也是個不停學習新東西的過程呢。簡單來講，這種採樣方法就是隨機到須要的數字就接受，不是須要的就拒絕，並從新採樣，這樣還能保持等機率，具體的證實這裏就不講解了，博主也不會，有興趣的童鞋們能夠去 Google 一下～ 這裏直接用結論就好啦，當用  rand49() 生成一個 [1, 49] 範圍內的隨機數，若是其在 [1, 40] 範圍內，咱們就將其轉爲 rand10() 範圍內的數字，直接對 10 去餘並加1，返回便可。若是不是，則繼續循環便可，參見代碼以下：

 

解法一：

class Solution {
public:
    int rand10() {
        while (true) {
            int num = (rand7() - 1) * 7 + rand7();
            if (num <= 40) return num % 10 + 1;
        }
    }
};

 

咱們能夠不用 while 循環，而採用調用遞歸函數，從而兩行就搞定，叼不叼～

 

解法二：

class Solution {
public:
    int rand10() {
        int num = (rand7() - 1) * 7 + rand7();
        return (num <= 40) ? (num % 10 + 1) : rand10();
    }
};

 

咱們還能夠對上面的解法進行一下優化，由於說實話在 [1, 49] 的範圍內隨機到 [41, 49] 內的數字機率仍是挺高的，咱們能夠作進一步的處理，就是當循環到這九個數字的時候，咱們不從新採樣，而是作進一步的處理，將採樣到的數字減去 40，這樣就至關於有了個 rand9()，那麼經過 (rand9() - 1) * 7 + rand7()，能夠變成 rand63()，對 rand63() 進行拒絕採樣，獲得 rand60()，從而又能夠獲得 rand10()了，此時還會多餘出3個數字，[61, 63]，經過減去 60，獲得 rand3()，再經過變換 (rand3() - 1) * 7 + rand7() 獲得 rand21()，此時再次調用拒絕採樣，獲得 rand20()，進而獲得 rand10()，此時就只多餘出一個 21，重複整個循環的機率就變的很小了，參見代碼以下：

 

解法三：

class Solution {
public:
    int rand10() {
        while (true) {
            int a = rand7(), b = rand7();
            int num = (a - 1) * 7 + b;
            if (num <= 40) return num % 10 + 1;
            a = num - 40, b = rand7();
            num = (a - 1) * 7 + b;
            if (num <= 60) return num % 10 + 1;
            a = num - 60, b = rand7();
            num = (a - 1) * 7 + b;
            if (num <= 20) return num % 10 + 1;
        }
    }
};

 

Github 同步地址：

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/470

 

相似題目：

Generate Random Point in a Circle

 

參考資料：

https://leetcode.com/problems/implement-rand10-using-rand7/

https://leetcode.com/problems/implement-rand10-using-rand7/discuss/152282/C%2B%2B-2-line

https://leetcode.com/problems/implement-rand10-using-rand7/discuss/175450/Java-Solution-explain-this-problem-with-2D-matrix

 

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