LeetCode Binary Search Summary 二分搜索法小結

 

二分查找法做爲一種常見的查找方法，將本來是線性時間提高到了對數時間範圍，大大縮短了搜索時間，具備很大的應用場景，而在 LeetCode 中，要運用二分搜索法來解的題目也有不少，可是實際上二分查找法的查找目標有不少種，並且在細節寫法也有一些變化。以前有網友留言但願博主能針對二分查找法的具體寫法作個總結，博主因爲以前一直很忙，一直拖着沒寫，爲了樹立博主言出必行的正面形象，不能再無限制的拖下去了，那麼今天就來作個了斷吧，總結寫起來~ (如下內容均爲博主本身的總結，並不權威，權當參考，歡迎各位大神們留言討論指正)

根據查找的目標不一樣，博主將二分查找法主要分爲如下五類：

 

第一類： 需查找和目標值徹底相等的數

這是最簡單的一類，也是咱們最開始學二分查找法須要解決的問題，好比咱們有數組 [2, 4, 5, 6, 9]，target = 6，那麼咱們能夠寫出二分查找法的代碼以下：

 

int find(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) return mid;
        else if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
        else right = mid;
    }
    return -1;
}

 

會返回3，也就是 target 的在數組中的位置。注意二分查找法的寫法並不惟一，主要能夠變更地方有四處：

第一處是 right 的初始化，能夠寫成 nums.size() 或者 nums.size() - 1。

第二處是 left 和 right 的關係，能夠寫成 left < right 或者 left <= right。

第三處是更新 right 的賦值，能夠寫成 right = mid 或者 right = mid - 1。

第四處是最後返回值，能夠返回 left，right，或 right - 1。

可是這些不一樣的寫法並不能隨機的組合，像博主的那種寫法，若 right 初始化爲了 nums.size()，那麼就必須用 left < right，而最後的 right 的賦值必須用 right = mid。可是若是咱們 right 初始化爲 nums.size() - 1，那麼就必須用 left <= right，而且right的賦值要寫成 right = mid - 1，否則就會出錯。因此博主的建議是選擇一套本身喜歡的寫法，而且記住，實在不行就帶簡單的例子來一步一步執行，肯定正確的寫法也行。

第一類應用實例：

Intersection of Two Arrays

 

第二類： 查找第一個不小於目標值的數，可變形爲查找最後一個小於目標值的數

這是比較常見的一類，由於咱們要查找的目標值不必定會在數組中出現，也有多是跟目標值相等的數在數組中並不惟一，而是有多個，那麼這種狀況下 nums[mid] == target 這條判斷語句就沒有必要存在。好比在數組 [2, 4, 5, 6, 9] 中查找數字3，就會返回數字4的位置；在數組 [0, 1, 1, 1, 1] 中查找數字1，就會返回第一個數字1的位置。咱們可使用以下代碼：

 

int find(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
        else right = mid;
    }
    return right;
}

 

最後咱們須要返回的位置就是 right 指針指向的地方。在 C++ 的 STL 中有專門的查找第一個不小於目標值的數的函數 lower_bound，在博主的解法中也會時不時的用到這個函數。可是若是面試的時候人家不讓使用內置函數，那麼咱們只能老老實實寫上面這段二分查找的函數。

這一類能夠輕鬆的變形爲查找最後一個小於目標值的數，怎麼變呢。咱們已經找到了第一個不小於目標值的數，那麼再往前退一位，返回 right - 1，就是最後一個小於目標值的數。

第二類應用實例：

Heaters ， Arranging Coins ， Valid Perfect Square ， Max Sum of Rectangle No Larger Than K ， Russian Doll Envelopes

 

第二類變形應用： Valid Triangle Number

 

第三類： 查找第一個大於目標值的數，可變形爲查找最後一個不大於目標值的數

這一類也比較常見，尤爲是查找第一個大於目標值的數，在 C++ 的 STL 也有專門的函數 upper_bound，這裏跟上面的那種狀況的寫法上很類似，只須要添加一個等號，將以前的 nums[mid] < target 變成 nums[mid] <= target，就這一個小小的變化，其實直接就改變了搜索的方向，使得在數組中有不少跟目標值相同的數字存在的狀況下，返回最後一個相同的數字的下一個位置。好比在數組 [2, 4, 5, 6, 9] 中查找數字3，仍是返回數字4的位置，這跟上面那查找方式返回的結果相同，由於數字4在此數組中既是第一個不小於目標值3的數，也是第一個大於目標值3的數，因此 make sense；在數組 [0, 1, 1, 1, 1] 中查找數字1，就會返回座標5，經過對比返回的座標和數組的長度，咱們就知道是否存在這樣一個大於目標值的數。參見下面的代碼：

 

int find(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] <= target) left = mid + 1;
        else right = mid;
    }
    return right;
}

 

這一類能夠輕鬆的變形爲查找最後一個不大於目標值的數，怎麼變呢。咱們已經找到了第一個大於目標值的數，那麼再往前退一位，返回 right - 1，就是最後一個不大於目標值的數。好比在數組 [0, 1, 1, 1, 1] 中查找數字1，就會返回最後一個數字1的位置4，這在有些狀況下是須要這麼作的。

第三類應用實例：

Kth Smallest Element in a Sorted Matrix

第三類變形應用示例：

Sqrt(x)

 

第四類： 用子函數看成判斷關係（一般由 mid 計算得出）

這是最令博主頭疼的一類，並且一般狀況下都很難。由於這裏在二分查找法重要的比較大小的地方使用到了子函數，並非以前三類中簡單的數字大小的比較，好比 Split Array Largest Sum 那道題中的解法一，就是根據是否能分割數組來肯定下一步搜索的範圍。相似的還有 Guess Number Higher or Lower 這道題，是根據給定函數 guess 的返回值狀況來肯定搜索的範圍。對於這類題目，博主也很無奈，遇到了只能自求多福了。

第四類應用實例：

Split Array Largest Sum， Guess Number Higher or Lower，Find K Closest Elements，Find K-th Smallest Pair Distance，Kth Smallest Number in Multiplication Table，Maximum Average Subarray II，Minimize Max Distance to Gas Station，Swim in Rising Water，Koko Eating Bananas，Nth Magical Number

 

第五類： 其餘（一般 target 值不固定）

有些題目不屬於上述的四類，可是仍是須要用到二分搜索法，好比這道 Find Peak Element，求的是數組的局部峯值。因爲是求的峯值，須要跟相鄰的數字比較，那麼 target 就不是一個固定的值，並且這道題的必定要注意的是 right 的初始化，必定要是 nums.size() - 1，這是因爲算出了 mid 後，nums[mid] 要和 nums[mid+1] 比較，若是 right 初始化爲 nums.size() 的話，mid+1 可能會越界，從而不能找到正確的值，同時 while 循環的終止條件必須是 left < right，不能有等號。

相似的還有一道 H-Index II，這道題的 target 也不是一個固定值，而是 len-mid，這就很意思了，跟上面的 nums[mid+1] 有殊途同歸之妙，target 值都隨着 mid 值的變化而變化，這裏的right的初始化，必定要是 nums.size() - 1，而 while 循環的終止條件必須是 left <= right，這裏又必需要有等號，是否是很頭大 -.-!!!

其實仔細分析的話，能夠發現其實這跟第四類仍是比較類似，類似點是都很難 -.-!!!，第四類中雖然是用子函數來判斷關係，但大部分時候 mid 也會做爲一個參數帶入子函數進行計算，這樣實際上最終算出的值仍是受 mid 的影響，可是 right 卻能夠初始化爲數組長度，循環條件也能夠不帶等號，你們能夠對比區別一下～

第五類應用實例：

Find Peak Element

H-Index II

 

綜上所述，博主大體將二分搜索法的應用場景分紅了主要這五類，其中第二類和第三類還有各自的擴展。根據目前博主的經驗來看，第二類和第三類的應用場景最多，也是最重要的兩類。第一類，第四類，和第五類較少，其中第一類最簡單，第四類和第五類最難，遇到這類，博主也沒啥好建議，多多練習吧～

 

若是有寫的有遺漏或者錯誤的地方，請你們踊躍留言啊，共同進步哈～

 

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