估計工具變量回歸時, 是否必須將全部外生變量用做工具變量？

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以前，推薦過「必須使用全部外生變量做爲工具變量嗎？」，但以爲裏面沒有說的很清楚，所以，今天在社羣羣友要求下從新推薦一下這個問題。一些相關的知識以下：1.2SRI仍是2SPS, 內生性問題的二階段CF法實現，2.控制函數法CF, 處理內生性的廣義方法，3.2SRI仍是2SPS, 內生性問題的二階段CF法實現，4.非線性模型及離散內生變量處理利器, 應用計量經濟學中的控制函數法！5.Heckman兩步法是什麼? 及其內生性問題?
有人提出瞭如下問題
正在估計一個方程：
Y = a + bX + cZ + dW
而後用Q做爲W的工具變量。知道第一階段的迴歸應該是
W = e + fX + gZ + hQ
（即在第一階段中使用全部外生變量）。實際上，若是使用ivregress 命令，這個步驟都是自動完成的 。可是，若只想在第一階段使用Q而不用X和Z做爲W的工具變量。有什麼辦法能夠在Stata中作到呢？此時，能夠用W對Q作迴歸並得到W的預測值，而後將其用於第二階段迴歸。不過，也有一個問題，那就是這時得到的估計標準誤並不正確。
ivregress不會讓你這樣作，並且，若是你相信W是一個系統的一部分，是內生的，那麼就必須同時包括 X和Z 做爲W的工具變量，不然會獲得有誤差的b、c和d估計值。
考慮以下模型系統：
Y1 = a0 + a1Y2 + a2X1 + a3*X2 + e1（1）

Y2 = b0 + b1*Y1 + b2*X3 + b3*X4 + e2（2）

注意：假設正在估計結構方程式（1）；若是 X1和X2 是外生的，則必須將它們做爲工具變量，不然你的估計將有誤差。在通常系統中，當內生變量的工具值出如今方程中時，此類外生變量必須用做任何內生變量的工具變量，其中外生變量也出如今方程中。
考慮一下上述兩個方程的簡約形式：
Y1 = e0 + e1X1 + e2X2 + e3X3 + e4x4 + u1（1r）

Y2 = f0 + f1*X1 + f2*X2 + f3*X3 + f4*x4 + u2（2r）

其中e＃和f＃是（1）和（2）方程中的a＃和b＃係數的組合，而u1和 u2是e1和e2的線性組合 。
對於一個內生變量，全部外生變量都出如今他的方程中。這是聯立系統的特性，所以估計效率（estimation efficiency）要求將全部外生變量都包括在內，以此做爲每一個內生變量的工具變量。
這是真正的問題。看式（1）：Y2的簡約形式方程 （2r）清楚地代表， Y2與X2相關 （經過係數 f2）。若是不將X2包括在Y2的工具變量中 ，那麼將沒法考慮Y2的工具值與 X2的相關性。因爲沒有考慮這種相關性，所以當使用Y2的工具值估計式（1）時，將迫使係數 a3去考慮這種相關性。這種方法將致使a1和a3的估計誤差。
能夠參考一下Baltagi（2011）。請參見2SLS的整個討論，尤爲是第265頁上的方程11.40以後的段落。（不知道爲何在其餘書中不強調此問題。）
當不包含X4就只會影響估計效率，而不會影響誤差。
可是，在一種狀況下，沒必要包括X1和 X2做爲Y2的工具變量 。也就是說當系統爲遞歸形式時 Y2確實不 依賴於Y1，考慮到兩個方程的擾動項之間的相關性，所以有理由相信它是弱內生性的。仍然能夠在這裏進行ivregress的操做，並保留X1和X2做爲其工具變量。可是，值得注意的是，這裏再也不要求使用他們做爲工具變量。而後，能夠只需從第一階段就對工具變量的預測值作迴歸便可。
若是使用間接最小二乘法，則必須本身對協方差矩陣進行調整。考慮以下結構方程：
y1 = y2 + x1 + e
其中，工具變量爲z1， 且你不認爲 y2是y1的函數 。
如下示例僅將 z1 用做y2的工具變量。首先，在y1，y2， x1和z1上建立一個數據集 ：

如今，咱們執行第一階段迴歸並得到對工具變量的預測值，這對於方程右邊的每一個內生變量都必須執行。

如今經過應用正確的均方偏差來校訂方差-協方差：

Reference

• Baltagi, B. H. 2011.

• Econometrics. New York: Springer

Source: https://www.stata.com/support/faqs/statistics/instrumental-variables-regression/

關於工具變量

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