模板：插頭dp

前言：

嚴格來說有關dp的都不該該叫作模板，由於dp太活了，可是一是爲了整理插頭dp的知識，二是插頭dp有良好的套路性，因此姑且還叫作模板吧。

這裏先推薦一波CDQ的論文和這篇博客http://www.yhzq-blog.cc/%E6%8F%92%E5%A4%B4dp-%E4%BB%8E%E4%B8%8D%E4%BC%9A%E5%88%B0%E5%B4%A9%E6%BA%83/，下列一部分知識借鑑了他們的思想與內容。

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問題引入：

URAL1519：Formula 1

題目大意：給一個網格，有些網格有障礙，問有多少條哈密頓迴路。

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概念引入：

插頭dp：基於連通性狀態壓縮的動態規劃。

插頭：（對於本問題而言）一個格子能夠與外面相連的邊，顯然一般是有上下左右四個插頭。

輪廓線：已決策格子和未決策格子的分界線。

性質：

對於輪廓線上從左到右的四個插頭abcd，若是a與c聯通，則b與d必定不連通。

（可感性理解，也可對照論文看證實，證實並不難）

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在講以前，我先闡述一下我對於插頭dp的理解模型：水管遊戲。

（本文會使用水管遊戲的一些概念）

玩完了吧，是否是很好玩？好玩的話咱們就正式開始學習插頭dp吧。

（可是請注意一個水管只容許有兩個口，和遊戲中不同）

（好了不要玩遊戲了……）

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最小表示法：

首先定義連通性：若是兩個格子的水管是相接的，那麼稱這兩個格子是聯通的。多個聯通的格子組成了聯通塊。

這就給咱們一種表示輪廓線當前狀態的方法：f(i,j,S)表示逐格遞推到(i,j)格的時候咱們的狀態爲S，其中S中"0"表明無插頭，不然均有插頭，且數字相同的插頭聯通。

可是這樣很慢（S的進制不是很優，沒法常數優化，且可能形成多餘的狀態）

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括號表示法：

看一看那個結論，不以爲恨眼熟嗎？是否是和括號很像啊？

括號表示法就是這樣的方法：

咱們令

0=無插頭

1=左匹配插頭"("

2=右匹配插頭")"

（固然咱們爲了常數優化一般取四進制，這樣就能夠位運算了）

那麼顯然1與2配對的時候表明咱們查到了一個聯通塊，且不能出現([)]的狀況，因此這種表示方法獲得的狀態是惟一的。

它顯然比上一種方法（在常數上）更優，因此咱們能夠採用這種方法的話通常採用這種方法。

（至於獨立插頭……emm……網上沒有一我的寫過這個……）

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實現：

實現蠻好想的，具體的算法構架以下：

1.模擬輪廓線移動。

2.枚舉當前可能出現的全部狀態。

3.對於新更新的格子，合併/分離/維持聯通塊。

4.將新狀態更新爲括號表示/最小表示法，存儲。

存儲的方法使用哈希表便可。

其中最關鍵（也是最複雜）的地方爲3，可是因爲做者懶，因此請參考文章開頭提供的博客，那裏有圖文註釋，比較容易能看懂。

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總結：

其實插頭dp不難，可是在我想到用水管遊戲解釋插頭以前我確實是mengbier，因此說這個東西就是理解起來困難，理解了就真的不難了。

強烈推薦先抄一個代碼，大體實現一下插頭dp，感性理解有助於接下來的作題。

（好比個人代碼就是抄的那篇博客……）

例題：

最小表示法：

BZOJ2595：[Wc2008]遊覽計劃：http://www.cnblogs.com/luyouqi233/p/8258525.html

括號表示法：

URAL1519：Formula 1：http://www.cnblogs.com/luyouqi233/p/8256801.html

BZOJ1187：[HNOI2007]神奇遊樂園：http://www.cnblogs.com/luyouqi233/p/8260236.html

靈活運用：

BZOJ2331：[SCOI2011]地板：http://www.cnblogs.com/luyouqi233/p/8261279.html