OierBBS文章推薦 #2 - 「筆記」線性基
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做者： @"Suzt_ilymtics"#38 node
推薦時間：2021年8月13日ios
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概念
線性基是向量空間的一組基，一般能夠解決有關異或的一些題目。-Oi-wiki
線性基就是一個有着特殊性質的集合，在處理某些狀況下的異或問題有着意想不到的效果。算法
假設咱們用 p 數組來存線性基。segmentfault
線性基能夠由給出的一組元素相互異或而來。數組
而 p_i 中的元素表示該元素二進制下 1 的最高位是第 i 位。ui
性質
- 線性基具備普通集合所具備的性質，即肯定性、互異性、無序性。
- 線性基中每一個元素的最高位不一樣。（根據
p數組定義比較顯然。） - 線性基中沒有異或和爲
0的子集。（每一個元素的最高位不一樣，異或起來最高位必定不會爲0。） - 線性基中任意多元素的異或和的值域等於原集合中任意多元素的異或和的值域。
- 線性基在知足上一個條件的狀況下，所包含元素個數是最少的。
- 線性基中不一樣的元素異或出來的值是不一樣的。
構造
通常狀況下都是在二進制下進行。url
假設插入一個元素爲 x 。spa
- 從高位向低位判斷，直到遇到該元素某位上爲
1，設該位爲i。 - 而後判斷
p_i是否有值，若是沒有把x存到p_i中，不然將x與p_i異或而後重複上面的操做。（將x與p_i異或後x的最高位上的1就沒了，至於變成了啥也無所謂了）
把全部元素都插入後，咱們就獲得了這組元素的線性基。
這樣構造的線性基知足它該有的全部性質，p_i 數組也符合定義。
Code：
void Insert(int k) {
for(int i = Max; i >= 0; --i) { // Max 表示二進制最高位
if(!(k & (1ll << i))) continue;
if(!p[i]) { p[i] = k; return ; }
k ^= p[i];
}
}
線性基的插入和下面的幾個操做複雜度都是 O(\log n) 的。
操做
求最大值
給你一堆元素，挑幾個異或起來，是他們的值最大，輸出最大值。
咱們先用這組元素構造出線性基。而後貪心的進行選擇，選高位的確定比低位的要更優。
因此咱們從高位向低位遍歷，若是異或上 p_i 更優就異或。最後的結果就是要求的最大值。
爲何能直接用？線性基的元素都是經過已知的元素異或而來，確定是正確的。
Code:
int Query() {
int res = 0;
for(int i = Max; i >= 0; --i) res = max(res, res^p[i]);
return res;
求一個數是否能被表示出來
把這個數扔到線性基裏跑一邊就行。
每次挑這個數的最高位進行異或，都能把最高位消掉。
若是最後這個數爲 0 ，說明該數能夠被表示出。
線性基合併
把一個線性基的每一個元素插入另一個線性基便可。
查找嚴格次大值
先找到最大值，而後從低位向高位枚舉，而後找到二者都爲一的異或上, 而後退出便可。
廣義線性基
以前咱們只是把線性基簡單化了，線性基最初是應用到向量裏的。
這道題思路和[P4570 [BJWC2011]元素](https://www.luogu.com.cn/prob...挺像的。
只不過這道題把整數換成了向量。向量中的每一個元素就至關於原來的每一個二進制位。
咱們能夠把 n 個裝備看做 n 個 m 維的向量。
如 k = ( a_1, a_2, a_3, ... , a_m )
大致思路是同樣的，結合高斯消元來構造。
emm看代碼會更直觀一點，感受我口胡的並非很清楚。
/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge: ??
Time: O(??)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<string>
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
const double lim = 1e-5; // lim 防止因精度損失而引起錯誤
int n, m, cnt = 0;
int sum = 0;
struct Vector { // 這裏把全部向量存到告終構體裏方便使用
int cost;
double a[520]; // a 數組存向量的每一個元素的值
Vector () { for(int i = 1; i <= m; ++i) a[i] = 0; }
bool operator < (const Vector &b) const { return cost < b.cost; }
Vector operator + (const Vector b) {
Vector res;
for(int i = 1; i <= m; ++i) res.a[i] = a[i] + b.a[i];
return res;
}
Vector operator - (const Vector b) {
Vector res;
for(int i = 1; i <= m; ++i) res.a[i] = a[i] - b.a[i];
return res;
}
Vector operator * (const double b) {
Vector res;
for(int i = 1; i <= m; ++i) res.a[i] = a[i] * b;
return res;
}
}ep[520]; // 存讀入的每一個向量
int read(){
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
namespace Lb {
Vector p[520];
bool Insert(Vector k) {
for(int i = m; i >= 1; --i) { // 從左向右依次遍歷每一個向量中的元素，這裏的遍歷順序已再也不重要
if(abs(k.a[i]) < lim) continue; // 若是插入向量的當前元素無值就跳過
if(abs(p[i].a[i]) < lim) { p[i] = k; return true; } // 若是線性基中「最高位」向量中沒有值，就插入。
double t = k.a[i] / p[i].a[i]; // 算出係數
k = k - p[i] * t; // 進行消元
}
return false;
}
}
int main()
{
n = read(), m = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= m; ++j)
scanf("%lf", &ep[i].a[j]); // 讀入 n 個 向量
for(int i = 1; i <= n; ++i) ep[i].cost = read(); // 讀入每一個向量的花費，類比元素那道題
sort(ep + 1, ep + n + 1); // 按照花費從小到大排序貪心
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
if(Lb::Insert(ep[i])) { // 判斷可否插入
++ cnt; // 計數
sum += ep[i].cost; // 記錄花費
}
}
printf("%d %d", cnt, sum);
return 0;
}
例題
P3812【模板】線性基
板子題，求最大值。
/*
Work by: Suzt_ilymics
Problem: 不知名屑題
Knowledge: 垃圾算法
Time: O(能過)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define int long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
const int bit = 50;
int n, p[55];
int read(){
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
void Insert(int k) {
for(int i = bit; i >= 0; --i) {
if(!(k & (1ll << i))) continue;
if(!p[i]) { p[i] = k; return ; }
k ^= p[i];
}
}
int Maxxor() {
int res = 0;
for(int i = bit; i >= 0; --i) res = max(res, (res ^ p[i]));
return res;
}
signed main()
{
n = read();
while(n--) Insert(read());
printf("%lld", Maxxor());
return 0;
}
P3857 [TJOI2008]彩燈
搞出線性基，統計線性基中有幾個元素，假設有 x 個，輸出 2^ x \bmod 2008 便可。
由於假設咱們有 p_i 那麼選與不選必定會決定第 i 位的是否爲 1 ，那麼有幾個 p_i 咱們就能決定幾位，答案也就是 2^ x 。
/*
Work by: Suzt_ilymics
Problem: 不知名屑題
Knowledge: 垃圾算法
Time: O(能過)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define int long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 2008;
const int Max = 50;
char s[60];
int n, m, cnt = 0;
int p[60];
int read(){
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
void Insert(int k) {
for(int i = Max; i >= 0; --i) {
if(!(k & (1ll << i))) continue;
if(!p[i]) { p[i] = k; return ;}
k ^= p[i];
}
}
signed main()
{
n = read(), m = read();
for(int i = 1; i <= m; ++i) {
scanf("%s", s + 1); int x = 0;
for(int j = 1; j <= n; ++j) if(s[j] == 'O') x |= (1ll << (j - 1));
Insert(x);
}
for(int i = Max; i >= 0; --i) if(p[i]) cnt++;
printf("%lld\n", (1ll << cnt) % mod);
return 0;
}
P4570 [BJWC2011]元素
首先咱們知道
若是a \oplus b = c，那麼a \oplus c = b, b \oplus c = a。
由前面推後面能夠看作兩邊同時異或 a 或者 b。
假設 b_1 \oplus b_2 \oplus b_3 ... \oplus b_i = x ，x 比任何一個值都要大。
那麼 x \oplus b_ 1 \oplus b_ 2 \oplus b_ 3 ... \oplus b_ {i-1} = b_ i。
爲了得到更大價值，咱們能夠按照價值從大到小排序，而後貪心的選擇。
每次向線性基插入它的 number，若是能夠插入就選擇它。
/*
Work by: Suzt_ilymics
Problem: 不知名屑題
Knowledge: 垃圾算法
Time: O(能過)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
struct node {
LL k, val;
bool operator < (const node &b) const { return val > b.val; }
}a[MAXN];
LL n, ans = 0;
LL read(){
LL s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
namespace Lb {
const LL Max = 60;
LL p[61];
bool Insert(LL k) {
for(LL i = Max; i >= 0; --i) {
if(!(k & (1ll << i))) continue;
if(!p[i]) { p[i] = k; return true; }
k ^= p[i];
}
return false;
}
}
int main()
{
n = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i].k = read(), a[i].val = read();
sort(a + 1, a + n + 1);
for(int i = 1; i <= n; ++i) if(Lb::Insert(a[i].k)) ans += a[i].val;
printf("%lld", ans);
return 0;
}
P4151 [WC2011]最大XOR和路徑
乍一看沒有思路。一開始覺得能夠像上面那個題同樣貪心的選擇。
由於能夠重複通過，因此路徑就太多了。
假設咱們走到了 n 號點，咱們此時的異或和爲 dis_n。
咱們想要知道有沒有更優的選擇，咱們假設往回走某條咱們沒有通過的路徑，若是咱們不能繞回來，也就是說沒有環，那麼在返回的途中還會再走一遍。衆所周知 x \oplus x = 0。因此就至關於咱們啥也沒幹。
若是在走的途中繞了一個環，咱們從環的起點出發又回到了環的起點，環上的路徑都只被走了一次，說明什麼？咱們與環上的全部值異或了。
經過上面討論不難發現，通常路徑上的值不能選，環上的值可選可不選，那麼咱們把一個環當作一個元素構建線性基，挑幾個能讓咱們的 dis_n 變得更優的與之異或。
dis_n 怎麼求？隨便找一條路徑。
若是有更優的路徑，那麼它必定會與這條路徑造成一個環，異或這個環，就會變成選擇另外一條路徑。
/*
Work by: Suzt_ilymics
Problem: 不知名屑題
Knowledge: 垃圾算法
Time: O(能過)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define LL long long
#define int long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
const int Max = 61;
struct edge { int to, w, nxt; }e[MAXN << 1];
int head[MAXN], num_edge = 1;
int n, m;
int p[66], dis[MAXN];
bool vis[MAXN];
int read(){
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
void add_edge(int from, int to, int w) { e[++num_edge] = (edge){to, w, head[from]}, head[from] = num_edge; }
void Insert(int k) {
for(int i = Max; i >= 0; --i) {
if(!(k & (1ll << i))) continue;
if(!p[i]) { p[i] = k; return ; }
k ^= p[i];
}
}
int Query(int res) {
for(int i = Max; i >= 0; --i) res = max(res, res ^ p[i]);
return res;
}
void dfs(int u, int sum) {
dis[u] = sum, vis[u] = true;
for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].to;
if(!vis[v]) dfs(v, dis[u] ^ e[i].w);
else Insert(dis[u] ^ dis[v] ^ e[i].w);
}
}
signed main()
{
n = read(), m = read();
for(int i = 1, u, v, w; i <= m; ++i) {
u = read(), v = read(), w = read();
add_edge(u, v, w), add_edge(v, u, w);
}
dfs(1, 0);
printf("%lld\n", Query(dis[n]));
return 0;
}
P3292 [SCOI2016]幸運數字
把每一個點看作一個線性基而後樹剖便可。
詢問時把每段區間的線性基合併求最大值便可。
總複雜度 O(n \log ^ 4n)。
代碼寫的比較醜，須要吸氧才能過。
/*
Work by: Suzt_ilymics
Problem: 不知名屑題
Knowledge: 垃圾算法
Time: O(能過)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl
using namespace std;
const int MAXN = 2e4+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
struct edge {
int to, nxt;
}e[MAXN << 1];
int head[MAXN], num_edge = 1;
int n, Q, cnt = 0;
LL a[MAXN];
int dep[MAXN], fath[MAXN], siz[MAXN], son[MAXN], top[MAXN], dfn[MAXN], pre[MAXN];
LL read(){
LL s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f ? -s : s;
}
void add_edge(int from, int to) { e[++num_edge] = (edge){to, head[from]}, head[from] = num_edge; }
namespace Seg {
#define lson i << 1
#define rson i << 1 | 1
struct Tree {
LL p[66];
Tree () { memset(p, false, sizeof p); }
void Insert(LL k) {
for(int i = 60; i >= 0; --i) {
if(!(k & (1ll << i))) continue;
if(!p[i]) { p[i] = k; return ; }
k ^= p[i];
}
}
LL Query() {
LL res = 0;
for(int i = 60; i >= 0; --i) res = max(res, res ^ p[i]);
return res;
}
}tree[MAXN << 2];
void Push_up(int i) {
tree[i] = tree[lson];
for(int j = 60; j >= 0; --j) if(tree[rson].p[j]) tree[i].Insert(tree[rson].p[j]);
}
void hb(Tree *x, Tree y) { for(int i = 60; i >= 0; --i) if(y.p[i]) x->Insert(y.p[i]); }
void Build(int i, int l, int r) {
if(l == r) {
tree[i].Insert(a[pre[l]]);
return ;
}
int mid = (l + r) >> 1;
Build(lson, l, mid), Build(rson, mid + 1, r);
Push_up(i);
}
Tree Query(int i, int l, int r, int L, int R) {
if(L <= l && r <= R) return tree[i];
Tree ans;
int mid = (l + r) >> 1;
if(mid >= L) ans = Query(lson, l, mid, L, R);
if(mid < R) hb(&ans, Query(rson, mid + 1, r, L, R));
return ans;
}
}
namespace Cut {
void dfs(int u, int fa) {
dep[u] = dep[fa] + 1, fath[u] = fa, siz[u] = 1;
for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].to;
if(v == fa) continue;
dfs(v, u);
siz[u] += siz[v];
if(siz[son[u]] < siz[v]) son[u] = v;
}
}
void dfs2(int u, int tp) {
top[u] = tp, dfn[u] = ++ cnt, pre[cnt] = u;
if(son[u]) dfs2(son[u], tp);
for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].to;
if(v == fath[u] || v == son[u]) continue;
dfs2(v, v);
}
}
Seg::Tree Query(int x, int y) {
Seg::Tree ans;
while(top[x] != top[y]) {
if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x, y);
Seg::hb(&ans, Seg::Query(1, 1, n, dfn[top[x]], dfn[x]));
x = fath[top[x]];
}
if(dep[x] > dep[y]) swap(x, y);
Seg::hb(&ans, Seg::Query(1, 1, n, dfn[x], dfn[y]));
return ans;
}
}
signed main()
{
n = read(), Q = read();
for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
for(int i = 1, u, v; i < n; ++i) u = read(), v = read(), add_edge(u, v), add_edge(v, u);
Cut::dfs(1, 0), Cut::dfs2(1, 1), Seg::Build(1, 1, n);
for(int i = 1, u, v; i <= Q; ++i) {
u = read(), v = read();
Seg::Tree ans = Cut::Query(u, v);
printf("%lld\n", ans.Query());
}
return 0;
}
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