最短路徑之Dijkstra算法詳細講解

http://2728green-rock.blog.163.com/blog/static/43636790200901211848284/

１  最短路徑算法

在平常生活中，咱們若是須要經常往返A地區和B地區之間，咱們最但願知道的多是從A地區到B地區間的衆多路徑中，那一條路徑的路途最短。最短路徑問題是圖論研究中的一個經典算法問題， 旨在尋找圖（由結點和路徑組成的）中兩結點之間的最短路徑。 算法具體的形式包括：

（１）肯定起點的最短路徑問題：即已知起始結點，求最短路徑的問題。

（２）肯定終點的最短路徑問題：與肯定起點的問題相反，該問題是已知終結結點，求最短路徑的問題。在無向圖中該問題與肯定起點的問題徹底等同，在有向圖中該問題等同於把全部路徑方向反轉的肯定起點的問題。

（３）肯定起點終點的最短路徑問題：即已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑。

（４）全局最短路徑問題：求圖中全部的最短路徑。

用於解決最短路徑問題的算法被稱作「最短路徑算法」， 有時被簡稱做「路徑算法」。 最經常使用的路徑算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。

本文主要研究Dijkstra算法的單源算法。

２  Dijkstra算法

2.1  Dijkstra算法

　　Dijkstra算法是典型最短路算法，用於計算一個節點到其餘全部節點的最短路徑。主要特色是以起始點爲中心向外層層擴展，直到擴展到終點爲止。Dijkstra算法能得出最短路徑的最優解，但因爲它遍歷計算的節點不少，因此效率低。

Dijkstra算法是頗有表明性的最短路算法，在不少專業課程中都做爲基本內容有詳細的介紹，如數據結構，圖論，運籌學等等。　

2.2  Dijkstra算法思想

Dijkstra算法思想爲：設G=(V,E)是一個帶權有向圖，把圖中頂點集合V分紅兩組，第一組爲已求出最短路徑的頂點集合（用S表示，初始時S中只有一個源點，之後每求得一條最短路徑 , 就將 加入到集合S中，直到所有頂點都加入到S中，算法就結束了），第二組爲其他未肯定最短路徑的頂點集合（用U表示），按最短路徑長度的遞增次序依次把第二組的頂點加入S中。在加入的過程當中，總保持從源點v到S中各頂點的最短路徑長度不大於從源點v到U中任何頂點的最短路徑長度。此外，每一個頂點對應一個距離，S中的頂點的距離就是從v到此頂點的最短路徑長度，U中的頂點的距離，是從v到此頂點只包括S中的頂點爲中間頂點的當前最短路徑長度。

2.3  Dijkstra算法具體步驟　　

（1）初始時，S只包含源點，即S＝，v的距離爲0。U包含除v外的其餘頂點，U中頂點u距離爲邊上的權（若v與u有邊）或 ）（若u不是v的出邊鄰接點）。

（2）從U中選取一個距離v最小的頂點k，把k，加入S中（該選定的距離就是v到k的最短路徑長度）。

（3）以k爲新考慮的中間點，修改U中各頂點的距離；若從源點v到頂點u（u U）的距離（通過頂點k）比原來距離（不通過頂點k）短，則修改頂點u的距離值，修改後的距離值的頂點k的距離加上邊上的權。

（4）重複步驟（2）和（3）直到全部頂點都包含在S中。

2.4  Dijkstra算法舉例說明

以下圖，設A爲源點，求A到其餘各頂點（B、C、D、E、F）的最短路徑。線上所標註爲相鄰線段之間的距離，即權值。（注：此圖爲隨意所畫，其相鄰頂點間的距離與圖中的目視長度不能一一對等）

 

圖一：Dijkstra無向圖

 

算法執行步驟以下表：【注：圖片要是看不到請到「相冊--日誌相冊」中，名爲「Dijkstra算法過程」的圖就是了】

參考文獻

[1]  黃國瑜、葉乃菁，數據結構，清華大學出版社，2001年8月第1版

[2]  最短路徑，http://baike.baidu.com/view/349189.htm?func=retitle

[3]  李春葆，數據結構教程，清華大學出版社，2005年1月第1版

[3]  Dijkstra算法，http://baike.baidu.com/view/7839.htm