圖的深度優先遍歷

申明

       本文的目地是對算法導論中深度優先的內容作一筆記，總體更像該章節的剪輯以及總結。

簡介

  與圖的廣度優先遍歷比較：

   廣度優先遍歷更多的是可以反應圖中點的距離，而深度優先遍歷則主要是反映圖的形狀。

代碼以及圖示

性質

括號定理

在一個（有向或無向）圖G=（V,E）的任何深度優先搜索中，任意兩頂點u， v 知足下列性質

1. 區間[d[u], f[u]]和區間[d[v], f[v]]徹底不相交，且都不是對方的後裔

2. 區間[d[u], f[u]] 徹底包含於區間d[[v], f[v]]中，且 u是 v的後裔

3. 區間[d[v], f[v]] 徹底包含於區間d[[u], f[u]]中，且 v是 u的後裔

後裔區間嵌套

在一個（有向或無向）圖G=（V,E）的任何深度優先搜索中，任意兩頂點u， v ，若v是u的後裔則

d[u] < d[v] < f[v] < f[u]

白色路徑定理

‍在一個（有向或無向）圖G=（V,E）的任何深度優先搜索中，任意兩頂點u， v ，若v是u的後裔則當且僅當於時刻的d[u]發現u時，能夠從頂點u出發通過一條白色路徑到達v‍

邊的分類

定義

1. 樹邊：在深度優先森林Gπ總共的邊，若是頂點v是探尋邊(u,v)時首次被發現的，那麼(u,v)就是一條樹邊

2. 反向邊：深度優先樹中，鏈接頂點u到它的某一祖先的那些邊。有向圖出現的自環也是反向邊

3. 正向邊：在深度優先搜索中，鏈接u和某個後裔的非樹邊(u,v)

4. 交叉邊：同一棵深度優先搜索樹的兩個頂點之間，條件是其中一個頂點不是另外一個頂點的祖先。也能夠在不一樣度優先搜索樹之間的頂點之間

性質

1. 樹邊或前向邊，當且僅當d[u]<d[v]<f[v]<f[u]

2. 反向邊，當且僅當d[v]<=d[u]<f[u]<=f[v]

3. 交叉邊，當且僅當d[v]<f[v]<d[u]<f[u]

結合僞代碼顏色變化分析

對於每條邊 (u,v),當該邊第一次被搜索到時，根據點v的顏色進行區分

1. 白色:  樹邊

2. 灰色:  反向邊

3. 黑色:  正向邊或交叉邊