用Java寫算法之三：插入排序

插入排序是一種（或者一類）簡單的排序算法。之因此說它是一類算法，是由於插入排序能夠有變種，例如二分查找插入排序。

本文先討論直接插入排序（簡單插入排序）。

算法概述/思路

直接插入排序的思路很容易理解，它是這樣的：

1.把待排序的數組分紅已排序和未排序兩部分，初始的時候把第一個元素認爲是已排好序的。

2.從第二個元素開始，在已排好序的子數組中尋找到該元素合適的位置並插入該位置。

3.重複上述過程直到最後一個元素被插入有序子數組中。

4.排序完成。

下面是插入排序的示意圖（圖片來自維基百科）:

思路很簡單，但代碼並不是像冒泡排序那麼好寫。首先，如何判斷合適的位置？大於等於左邊、小於等於右邊？不行，不少邊界條件須要考慮，並且判斷次數太多。其次，數組中插入元素，必然須要移動大量元素，如何控制它們的移動？

實際上，這並非算法自己的問題，而多少和編程語言有點關係了。有時候算法自己已經很成熟了，到了具體的編程語言仍是要稍做改動。這裏講的是Java算法，那就拿Java說事兒。

爲了解決上述問題，咱們對第二步稍做細化，咱們不從子數組的起始位置開始比較，而從子數組尾部開始逆序比較，只要比須要插入的數大，就向後移動。直到不大於該數的數，那麼，這個空出來的位置就安放須要插入的數字。所以，咱們能夠寫出如下代碼：

public static void insertionSort(int[] arr){
    for (int i=1; i<arr.length; ++i){
        int value = arr[i];
        int position;
        for (position=i; position>0 ; --position){
            if (arr[position-1] > value){
                arr[position]=arr[position-1];
            }
            else{
                break;
            }
        }// loop position
        arr[position] = value;
    }//loop i
}

這段代碼寫得很不優雅，看着不舒服。稍做修改，能夠獲得下面的代碼（我以爲這個要好看些，也許有點小強迫症）：

代碼實現

public static void insertionSort(int[] arr){
    for (int i=1; i<arr.length; ++i){
        int value = arr[i];
        int position=i;
        while (position>0 && arr[position-1]>value){
            arr[position] = arr[position-1];
            position--;
        }
        arr[position] = value;
    }//loop i
}

算法性能/複雜度

如今討論下直接插入算法的時間複雜度。不管輸入如何，算法總會進行n-1輪排序。可是，因爲每一個元素的插入點是不肯定的，受輸入數據影響很大，其複雜度並非必定的。咱們能夠分最佳、最壞、平均三種狀況討論。

1.最佳狀況：由算法特色可知，當待排數組自己即爲正序（數組有序且順序與須要的順序相同，於咱們的討論前提，即爲升序）時爲最佳，理由是這種狀況下，每一個元素只須要比較一次且無需移動。算法的時間複雜度爲O(n);

2.最壞狀況：很顯然，當待排數組爲逆序時爲最壞狀況，這種狀況下咱們的每輪比較次數爲i-1, 賦值次數爲i。總的次數爲級數2n-1的前n項和，即n^2.算法的時間複雜度爲O(n^2);

3.平均狀況：由上述分析能夠獲得平均狀況下算法的運算次數大約爲（n^2）/2（注：這裏計算以賦值和比較計，若按移動和比較，則大約爲n^2/4），顯然，時間複雜度仍是O(n^2)。

至於算法的空間複雜度，全部移動均在數據內部進行，惟一的開銷是咱們引入了一個臨時變量（有的數據結構書上稱爲「哨兵」），所以，其空間複雜度（額外空間）爲O(1)。

算法穩定性

因爲只須要找到不大於當前數的位置而並不須要交換，所以，直接插入排序是穩定的排序方法。

算法變種

若是待排列的數據比較多，那麼每次從後往前找就形成了很大的開銷，爲了提升查找速度，能夠採用二分查找（Binary Search）進行性能優化。因爲二分查找的效率很高，保證了O(㏒n)複雜度，在數據比較多或輸入數據趨向最壞狀況時能夠大幅提升查找效率。在有些書上將這種方法稱爲折半插入排序。它的代碼實現比較複雜，之後有時間能夠貼出來。

此外，還有2-路插入排序和表插入排序。2-路插入排序是在折半插入排序的基礎上進一步改進，其移動次數大爲下降，大約爲n^2/8。可是，它並不能避免移動次數，也不能下降複雜度級別。表插入排序則徹底改變存儲結構，不移動記錄，但須要維護一個鏈表，以鏈表的指針修改代替移動記錄。所以，其複雜度仍然是O(n^2)。

有關2-路插入排序和表插入排序，能夠參考嚴蔚敏、吳偉民編著的《數據結構》一書。

算法適用場景

插入排序因爲O(n^2)的複雜度，在數組較大的時候不適用。可是，在數據比較少的時候，是一個不錯的選擇，通常作爲快速排序的擴充。例如，在STL的sort算法和stdlib的qsort算法中，都將插入排序做爲快速排序的補充，用於少許元素的排序。又如，在JDK 7 java.util.Arrays所用的sort方法的實現中，當待排數組長度小於47時，會使用插入排序。

參考資料

1.維基百科 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8F%92%E5%85%A5%E6%8E%92%E5%BA%8F

2.《數據結構》（C語言版）第10章第2節，嚴蔚敏、吳偉民著，清華大學出版社，2007年。