網絡流分析

 

Ford-Fulkerson算法

 

 

殘量網絡

　　從直觀上看，給定網絡$G$和流量$f$，殘量網絡$G_f$由那些仍有空間對流量進行調整的邊構成。流網絡容許的額外流量等於其容量減去該邊的流量：$c_f(u, v) = c(u, v)-f(u, v)$，差值爲正則將這條邊置於圖$G_f$中。因爲只容許有額外流量的邊加入圖$G_f$，若$c_f(u,v)=0$的話，則該邊不屬於圖$G_f$。

　　殘留網絡$G_f$還可能包含圖$G$中不存在的邊。算法對流量進行操做的目標是增長總流量，爲此，算法可能對某些特定邊上的流量進行縮減。爲了表示對於一個正流量$f(u, v)$的縮減，咱們將邊$(v,u)$加入到圖$G_f$中，並將其殘存容量設爲$c_f(v, u)=f(u, v)$。也就是說，一條邊能容許的反向流量最多將其正向流量抵消。圖$G_f$中的反向邊容許將發送過來的流量發送回去，等同於縮減該條邊的流量，也稱爲抵消操做。這類抵消操做對任何最大流算法都是很是關鍵的，在許多算法中也都是必須的。

　　更形式化地，考慮結點對$u, v\in V$，殘量容量$c_f(u, v)$以下：

$$c_f(u, v)=\left\{\begin{matrix}
c(u,v)-f(u,v) & if\ (u,v)\in E\\ 
f(u,v)& if\ (v,u)\in E\\ 
0& Others
\end{matrix}\right.$$

下圖爲給定網絡$G$和其殘量網絡$G_f$：

（通俗的來說，不管對於殘量網絡中哪條邊，都表示其還能再有多少流量通過。只不過可能含義不一樣。$(u, v)$的含義是增長這條邊的流量，$(v, u)$的含義爲減小這條邊的流量，它們都能對流量進行調整）

增廣路徑 

給定網絡$G=(V, E)$和流$f$，增廣路徑$p$是殘量網絡中一條從源結點$s$到匯點$t$的簡單路徑。

咱們在一條增廣路徑$p$上可以爲每條邊增長的流量的最大值爲：

$$c_f(p) = min\left \{ c_f(u, v):\ (u, v)\in route \ p \right \}$$

流網絡的切割

　　$Ford-Fulkerson$算法核心是沿着增廣路徑重複增長路徑上的流量，知道找到一個最大流爲止。咱們怎麼知道在算法終止時，確實找到一個最大流呢？而最大流最小割定理告訴咱們，一個流是最大流當且僅當其殘量網絡不包含任何增廣路徑。

咱們先來看一下流網絡中的切割概念，作一點小分析。

網絡流$G=(V, E)$中一個切割$(S, T)$將節點集合$V$劃分爲$S$和$T=V-S$兩個集合，使得$s\in S, t\in T$。

淨流量$f(S, T)$以下：$$f(S, T) = \sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(u, v)-\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(v, u)$$

切割$(S,T)$的容量是：$$c(S,T)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}c(u, v)$$

一個網絡的最小切割是整個網絡中容量最小的切割

以下圖1-2所示，從$s$運送到$t$的物品必然經過跨越$S$和$T$的邊，則有：

$$|f|=f(S,T)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(u, v)-\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(v, u)\leqslant \sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(u, v)\leqslant \sum_{u\in S}\sum_{v\in T}c(u, v)=c(S,T)$$

 　　　　　　　　　　　　圖1-1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　圖1-2

 

[最大流最小割定理] 設$f$爲流網絡$G=(V, E)$中的一個流，該流網絡的源節點是$s$，匯點爲$t$，則下列條件是等價的：

　　1.$f$是$G$的一個最大流。

　　2.殘量網絡$G_f$不包括任何增廣路徑。

　　3.$|f|=c(S, T)$，其中$(S, T)$是流網絡$G$的某個切割

簡要證實以下：

若是$G_f$不包含任何增廣路徑，即不存在$s$到$t$的路徑。咱們定義$S = \left \{ v\in V: G_f中存在s到v的路徑 \right \}$，$T=V-S$。顯然劃分$(S,T)$是流網絡$G$的一個切割。

對於一對結點$u\in S$和$v\in T$。若$(u, v)\in E$，則必有$f(u, v)=c(u, v)$；若$(v, u)\in E$，則必有$f(u, v)=0$。不然，在殘量網絡$G_f$中就有跨越集合$S$到到$T$的邊，和不包含增廣路徑的條件是相悖的。

因而咱們就獲得了：

$$f(S, T) = \sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(u, v)-\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(v, u)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}c(u, v)-\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}0=c(S,T)$$

又對全部切割$(S,T)$，都知足$|f|\leqslant c(S, T)$，即$|f|_{max}\leqslant c(S, T)_{min}$。稍加證實就能夠獲得：在增廣路算法結束時，$f$是$s-t$的最大流，$(S,T)$是圖的$s-t$最小割