最長公共子序列和最長公共子串

一、最長公共子序列和最長公共子串的區別？

最長公共子序列：不要求子序列連續。

最長公共子串：要求子串必定連續。

 

二、最長公共子序列

最長公共子序列定義：兩個或多個已知數列的子序列集合中最長的就是最長公共子序列。

好比數列A = 「abcdef」和B = 「adefcb」，那麼兩個數列的公共子序列集合有{」a","ab","abc","adef",等等}，其中最長的就是adef，這就是最長公共子序列。

最長公共子序列LCS動態規劃狀態轉移方程式

 

最長公共子序列動態規劃解法

dp[i][j] -- 表示子串A[0...i]（數組長度爲n）和子串B[0...j]（數組長度爲m）的最長公共子序列

當A[i] == B[j]時，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;

不然，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);

最優解爲dp[n-1][m-1];

回溯輸出最長公共子序列過程：

 

算法分析：
因爲每次調用至少向上或向左（或向上向左同時）移動一步，故最多調用(m * n)次就會遇到i = 0或j = 0的狀況，此時開始返回。返回時與遞歸調用時方向相反，步數相同，故算法時間複雜度爲Θ(m * n)。

 

 1 public class Solution {
 2 
 3     public static void main(String[] args) {
 4         String str1 = "12asdfa";
 5         String str2 = "we2rasdaswer";
 6 
 7         int result = longestCommonSubsequence(str1, str2);
 8         System.out.println(result);
 9 
10     }
11 
12     // LCS
13     public static int longestCommonSubsequence(String str1, String str2) {
14         int[][] matrix = new int[str1.length()+1][str2.length()+1];
15 
16         for(int i = 0; i < str1.length(); i++) {
17             matrix[i][0] = 0;
18         }
19 
20         for(int j = 0; j <= str2.length(); j++) {
21             matrix[0][j] = 0;
22         }
23 
24         for(int i = 1; i <= str1.length(); i++) {
25             for(int j = 1; j <= str2.length(); j++) {
26                 if(str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
27                     matrix[i][j] = matrix[i-1][j-1] + 1;
28                 } else {
29                     matrix[i][j] = (matrix[i-1][j] >= matrix[i][j-1]?matrix[i-1][j]:matrix[i][j-1]);
30                 }
31             }
32         }
33 
34         return matrix[str1.length()][str2.length()];
35     }
36 }

 如何要獲得重複的子序列是哪一個？

 

 

 三、最長公共子串

 最長公共子串的動態規劃的狀態轉移方程式

 

 1 public class Solution {
 2     public static void main(String[] args) {
 3 
 4         String str1 = "abcdef";
 5         String str2 = "cde";
 6 
 7         int result = longestCommonSubstring(str1, str2);
 8         System.out.println(result);
 9     }
10 
11     public static int longestCommonSubstring(String str1, String str2) {
12         int len1 = str1.length();
13         int len2 = str2.length();
14         int result = 0;
15 
16         int[]][] c = new int[len1+1][len2+1];
17 
18         for(int i = 0; i <= len1; i++) {
19             for(int j = 0; j <= len2; j++) {
20 
21                 if(i == 0 || j == 0) {
22                     c[i][j] = 0;
23                 } else if(str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j)) {
24                     c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
25                     result = Math.max(result, c[i][j]);
26                 } else {
27                     c[i][j] = 0;
28                 }
29             }
30         }
31 
32         return result;
33     }
34 }