Numpy | 22 線性代數

NumPy 提供了線性代數函數庫 linalg，該庫包含了線性代數所需的全部功能。

函數	描述
dot	兩個數組的點積，即元素對應相乘。
vdot	兩個向量的點積
inner	兩個數組的內積
matmul	兩個數組的矩陣積
determinant	數組的行列式
solve	求解線性矩陣方程
inv	計算矩陣的乘法逆矩陣

 

numpy.dot()

對於兩個一維的數組，計算的是這兩個數組對應下標元素的乘積和(數學上稱之爲內積)；

對於二維數組，計算的是兩個數組的矩陣乘積；

對於多維數組，它的通用計算公式以下，即結果數組中的每一個元素都是：數組a的最後一維上的全部元素與數組b的倒數第二位上的全部元素的乘積和： dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])。

numpy.dot(a, b, out=None)

參數說明：

• a : ndarray 數組
• b : ndarray 數組
• out : ndarray, 可選，用來保存dot()的計算結果

import numpy.matlib
import numpy as np
 
a = np.array([[1,2],[3,4]])
b = np.array([[11,12],[13,14]])
print(np.dot(a,b))

輸出結果爲：

[[37 40] [85 92]]

計算式爲：

[[1*11+2*13, 1*12+2*14],[3*11+4*13, 3*12+4*14]]

 

numpy.vdot()

numpy.vdot() 函數是兩個向量的點積。 若是第一個參數是複數，那麼它的共軛複數會用於計算。 若是參數是多維數組，它會被展開。

import numpy as np 
 
a = np.array([[1,2],[3,4]]) 
b = np.array([[11,12],[13,14]]) 
 
# vdot 將數組展開計算內積
print (np.vdot(a,b))

輸出結果爲：

130

計算式爲：

1*11 + 2*12 + 3*13 + 4*14 = 130

 

numpy.inner()

numpy.inner() 函數返回一維數組的向量內積。對於更高的維度，它返回最後一個軸上的和的乘積。

import numpy as np 
 
print (np.inner(np.array([1,2,3]),np.array([0,1,0])))
# 等價於 1*0+2*1+3*0

輸出結果爲：

2

多維數組實例

import numpy as np

a = np.array([[1, 2], [3, 4]])

print('數組 a：')
print(a)
print('\n')

b = np.array([[11, 12], [13, 14]])
print('數組 b：')
print(b)
print('\n')

print('內積：')
print(np.inner(a, b))

輸出結果爲：

數組 a：
[[1 2]
[3 4]]

數組 b：
[[11 12]
[13 14]]

內積：
[[35 41]
[81 95]]

 

內積計算式爲：

1*11+2*12, 1*13+2*14 
3*11+4*12, 3*13+4*14

numpy.matmul

numpy.matmul 函數返回兩個數組的矩陣乘積。 雖然它返回二維數組的正常乘積，但若是任一參數的維數大於2，則將其視爲存在於最後兩個索引的矩陣的棧，並進行相應廣播。

另外一方面，若是任一參數是一維數組，則經過在其維度上附加 1 來將其提高爲矩陣，並在乘法以後被去除。

對於二維數組，它就是矩陣乘法：

import numpy.matlib 
import numpy as np 
 
a = [[1,0],[0,1]] 
b = [[4,1],[2,2]] 
print (np.matmul(a,b))

輸出結果爲：

[[4 1] [2 2]]

二維和一維運算：

import numpy.matlib 
import numpy as np 
 
a = [[1,0],[0,1]] 
b = [1,2] 
print (np.matmul(a,b))
print (np.matmul(b,a))

輸出結果爲：

[1 2] [1 2]

維度大於二的數組 ：

import numpy.matlib 
import numpy as np 
 
a = np.arange(8).reshape(2,2,2) 
b = np.arange(4).reshape(2,2) 
print (np.matmul(a,b))

輸出結果爲：

[[[ 2 3] [ 6 11]] [[10 19] [14 27]]]

numpy.linalg.det()

numpy.linalg.det() 函數計算輸入矩陣的行列式。

行列式在線性代數中是很是有用的值。 它從方陣的對角元素計算。 對於 2×2 矩陣，它是左上和右下元素的乘積與其餘兩個的乘積的差。

換句話說，對於矩陣[[a，b]，[c，d]]，行列式計算爲 ad-bc。 較大的方陣被認爲是 2×2 矩陣的組合。

import numpy as np
a = np.array([[1,2], [3,4]]) 
 
print (np.linalg.det(a))

輸出結果爲：

-2.0

import numpy as np
 
b = np.array([[6,1,1], [4, -2, 5], [2,8,7]]) 
print (b)
print (np.linalg.det(b))
print (6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2))

輸出結果爲：

[[ 6 1 1] [ 4 -2 5] [ 2 8 7]] -306.0 -306

numpy.linalg.solve()

numpy.linalg.solve() 函數給出了矩陣形式的線性方程的解。

考慮如下線性方程：

x + y + z = 6

2y + 5z = -4

2x + 5y - z = 27

能夠使用矩陣表示爲：

若是矩陣成爲A、X和B，方程變爲：

AX = B

或

X = A^(-1)B

 

numpy.linalg.inv()

numpy.linalg.inv() 函數計算矩陣的乘法逆矩陣。

逆矩陣（inverse matrix）：設A是數域上的一個n階矩陣，若在相同數域上存在另外一個n階矩陣B，使得： AB=BA=E ，則咱們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱爲可逆矩陣。注：E爲單位矩陣。

import numpy as np 
 
x = np.array([[1,2],[3,4]]) 
y = np.linalg.inv(x) 

print (x)
print (y)
print (np.dot(x,y))

輸出結果爲：

[[1 2] [3 4]] [[-2. 1. ] [ 1.5 -0.5]] [[1.0000000e+00 0.0000000e+00] [8.8817842e-16 1.0000000e+00]]

如今建立一個矩陣A的逆矩陣:

import numpy as np

a = np.array([[1, 1, 1], [0, 2, 5], [2, 5, -1]])

print('數組 a：')
print(a)
print('\n')

ainv = np.linalg.inv(a)
print('a 的逆：')
print(ainv)
print('\n')

print('矩陣 b：')
b = np.array([[6], [-4], [27]])
print(b)
print('\n')

print('計算：A^(-1)B：')
x = np.linalg.solve(a, b)
print(x)

# 這就是線性方向 x = 5, y = 3, z = -2 的解

輸出結果爲：

數組 a：
[[ 1 1 1]
[ 0 2 5]
[ 2 5 -1]]

a 的逆：
[[ 1.28571429 -0.28571429 -0.14285714]
[-0.47619048 0.14285714 0.23809524]
[ 0.19047619 0.14285714 -0.0952381 ]]

矩陣 b：
[[ 6]
[-4]
[27]]

計算：A^(-1)B：
[[ 5.]
[ 3.]
[-2.]]

 

結果也能夠使用如下函數獲取：

x = np.dot(ainv,b)