神奇的lambda表達式——函數式編程必學

做爲一名有追求的程序員，對於計算機基礎的理論必定要有所瞭解。最近幾年，隨着分佈式、雲計算等技術的發展，函數式編程語言也趨於流行。若是要學習函數式編程，必定要深刻理解它背後的理論知識。從收益的角度上講，這些基礎理論知識幾十年不變，是十分值得花時間進行學習的。lambda演算(Lambda Calculus)就屬於這樣一套理論，能夠說它在函數式編程領域就如牛頓萬有引力定律同樣基礎。接下來這篇文章我將主要介紹lambda演算的基本知識，最後我還會嘗試用es6的箭頭函數來演示如何利用lambda演算來實現編程語言中的基本組成要素。

lambda演算是什麼？

要了解一個事物，先了解它的歷史必定是重中之重。lamda表達式最初是由一個美國普林斯頓大學的數學家Alonzo Church在1932年所發明的。他也是"計算機科學之父"——圖靈的博士生導師。

咱們都知道現代的計算機基本上都是基於圖靈機的。在圖靈機中，全部的計算過程其實都是基於狀態的，這也是爲何咱們日常寫代碼要聲明並使用變量的緣由：變量主要做用就是用來存儲狀態。而Alonzo Church所提出的lamda演算(lamda calcus)模型其實是基於函數的。圖靈機模型和Lambda演算模型雖然是兩種不一樣的理論模型，但它們其實是等價的，這也意味着，任何基於圖靈機的計算機程序都能等價地翻譯成基於lambda演算模型的程序。

lambda演算是一套研究函數定義、函數應用和遞歸的形式系統。它基本的組成部分就是三種表達式: 1. 函數定義 2. 標識符引用 3.函數應用。

那麼到底什麼是lamda表達式呢，它又是由哪些基本組成要素構成的呢？咱們都知道在函數式編程語言裏面，最基本的組成單位就是函數。lambda表達式從定義上來說能夠看作是一個匿名的純函數。ES6中引入了箭頭函數，它的本質實際上就是咱們這裏所說的lambda表達式:

const lambda = x => x + 1;
複製代碼

實際上如今大部分的編程語言都引入了lambda表達式這一特性，如Java, c#和es6等。咱們一般將lambda表達式，看做是一個黑盒，只關心它的輸入和輸出。因爲沒有內部狀態，用函數式編程的思想寫代碼就與用命令式語言寫代碼大相徑庭。做爲一個純函數，每一次運行定義好的lambda表達式的時候，結果都應該是一致的。

在純粹的lambda演算中其實是沒有任何內置的數據結構和邏輯控制語句的，可是咱們可使用函數來建構整個編程語言的全部要素。

lambda演算中的一些基本規則，能夠類比到咱們比較熟悉的ES6語法:

	lambda表達式	ES6 箭頭函數
定義函數	λx.x	x => x
柯里化 curry	λx. λy.x+y	x => y => x + y
應用 application	(λx. λy.x+y) 5 1	(x => y => x + y) (5) (1)

如何實現

在實現具體的邏輯以前，咱們須要明確的一點是：在lambda演算中，lambda表達式自己既能夠是操做數也能夠是函數，就好像一隻雞(lambda表達式），既能夠吃蟲子（另外一個lambda表達式)，也能夠被狐狸(還有一個lambda表達式) 吃（請原諒我這糟糕的類比），它們統稱爲動物(lambda表達式）。歸根結底就是，在這個封閉的概念世界裏，只有一類事物，那就是lambda表達式(函數)，咱們能夠利用這個最基礎的概念生成其它的概念和運算邏輯。

在純粹的函數式編程世界裏，沒有1,2,3這樣的數字也沒有+-*/這樣的基本運算符，因此這些咱們都須要本身手動去實現。

數字

首先做爲一門計算機設計語言，數字是關鍵，所謂」數是萬物本源「在計算機世界裏簡直就是真理。那麼咱們如何利用lamda表達式來表示數呢？在這裏，咱們採用函數調用次數來表示天然數，用這樣的編碼方式表示的天然數也叫邱奇數。

有了理論的指導，咱們很容易就能寫出下面的代碼：

const ZERO = f => x => x;
const ONE = f => x => f(x);
const TWO = f => x => f(f(x));
...
複製代碼

有了數字後，而後還須要再定義一個轉換函數，它能夠將ZERO和ONE這種函數式定義轉成咱們所熟悉的數字，方便調試。

const toNumber = n => n(i => i+1)(0);
console.log(toNumber(ONE));
// 1
複製代碼

計算

通過上面的步驟，咱們就定義了最基本的數字。有了這些數字，咱們應該如何去作一些簡單的加減乘除運算呢？既然數字表示的是調用函數次數的多少，那麼在這裏對於加法運算，咱們也能夠將它定義成調用函數的次數的相加。例如，要表示1+2等於3這一過程，輸入的函數就應該調用三次。

const add = n => m => fn => x => m(fn)(n(fn)(x));

const TWO = add(ONE)(ONE);
const THREE = add(ONE)(TWO);
toNumber(THREE);
// 3
複製代碼

其中n和m表示add操做的兩個操做數。

接着咱們再來實現乘法，回顧一下你們小時候學習乘法的過程。n * m的一個樸素定義能夠表示成： n個m相加。那麼在這裏，咱們須要實現的就是先調用n次函數，將它的結果再調用m次。表示到代碼中就像這樣:

const multiply = n => m => fn => x => m(n(fn))(x);

const result = toNumber(multiply(TWO)(THREE));
console.log(result);
// 6
複製代碼

至於減法和除法，實現起來相對來講比較複雜，你們若是感興趣的話，能夠參考其餘的資料進行學習。

控制語句

接下來咱們再進一步考慮一下如何實現條件分支語句。條件分支語句中一個很重要的元素就是布爾值，先來定義TRUE和FALSE這兩個基本的布爾值類型:

const TRUE = first => second => first;
const FALSE = first => second => second;
複製代碼

它表示的是從兩個事物中選擇其中一個事物，TRUE表示選擇的第一個，而FALSE與之相反，選擇的是第二個。

定義好基本的布爾值類型，再實現條件分支語句就很簡單了：

const ifElse = boolFn => first => second => boolFn(first)(second);
// ifElse(TRUE)(x)(y) ===> x
// ifElse(FALSE)(x)(y) ===> y
複製代碼

再增長一個轉換函數：

const toBoolean = boolFn => boolFn(true)(false);

console.log(toBoolean(TRUE));
// true
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大功告成，Bingo!

邏輯

利用上述定義的布爾值，推導出三大邏輯運算：與（and)、或（or)、非（not)就瓜熟蒂落了。反轉邏輯最簡單，只要將上面定義條件分支語句的邏輯反過來就能夠了。這與布爾值的定義也是強聯繫，若是說TRUE表示的是選擇第一個分支條件，那麼not就要反轉這種邏輯:

const not = boolFn => first => second => boolFn(second)(first);
toBoolean(not(TRUE));
// false
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至於或運算符，實質上應該是個帶有兩個操做數的運算，因此咱們須要定義個高階函數，須要調用兩次，每次接收一個操做數。根據以前的定義，咱們知道TRUE會返回第一個變量，FALSE會返回第二個變量。而或運算(or)的意思是隻要兩個操做數中有一個TRUE，就返回TRUE。那麼咱們只要使變量應用的順序和調用順序一致，就能保證當TRUE做爲第一個參數時，正好應用到TRUE函數上, 當FALSE做爲第一個參數時，函數返回第二個參數的值。

const or = first => second => first(first)(second);
toBoolean(or(TRUE)(FALSE)); // true
toBoolean(or(FALSE)(FALSE)); // false
toBoolean(or(TRUE)(FALSE)) // true
複製代碼

與操做與或操做類似，咱們要保證當兩個操做數都是TRUE的時候纔會返回TRUE。將上面的實現邏輯反轉一下，就能獲得下面的代碼：

const and = first => second => first(second)(first);
toBoolean(and(FALSE)(FALSE)); // false
toBoolean(and(FALSE)(TRUE)); // false
toBoolean(and(TRUE)(TRUE)); // true
複製代碼

這塊邏輯可能比較繞，你們能夠用心體會一下。

遞歸(Y組合子)

咱們先從一個最簡單的遞歸定義提及，下面這個故事想必你們都有據說過:

從前有座山，山裏有座廟，廟裏有個老和尚和小和尚，有一天老和尚對小和尚講故事，講的什麼故事呢？從前有座山，山裏有座廟，廟裏有個老和尚和小和尚…

這樣一個不停的引用自身的概念，其實就是遞歸的簡單定義。

有了遞歸的定義後，咱們再來深刻思考一下，如何用lambda表達式來實現遞歸的基本邏輯。

這裏我舉一個簡單的斐波那契數列的例子(1, 2, 6, 24…)，若是語言中已經支持遞歸，很容易能夠寫出這樣的代碼：

const factrial => n => n == 0 ? 1 : n * factrial(n - 1);
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若是語言中不支持遞歸，那麼在lambda表達式中，咱們並不能直接利用factorial這個名字來引用其自身。

不過能夠換個思路，既然不能在函數聲明裏面使用未定義的函數名，那麼咱們能夠將這個函數定義以參數的形式傳進去：

const makeFactorial = factroial => n => n == 0 ? 1 : n * factroial(n - 1);
複製代碼

有了一個makeFactorial後，怎麼使用呢? 假設，如今已經有了一個seed函數：

const seed = n => n;
複製代碼

它其實啥都沒幹，不過咱們能夠利用seed函數生成factorial0：

const factorial0 = makeFactorial(seed)
複製代碼

很容易知道，factorial0函數展開後是這樣的:

const factorial0 = n => n == 0 ? 1 : n * (n => n)(n - 1);
複製代碼

咱們知道這個函數在參數n等於0的時候結果是對的，而n等於其它數值的時候結果是0，顯然不正確。不過，彆着急，咱們能夠利用factorial0進一步構造factorial1：

const factorial1 = makeFactorial(factorial0)
複製代碼

它展開後:

const factorial1 = n => n == 0 ? 1 : n * factorial0(n - 1);
複製代碼

這個函數在n等於1的時候結果等於 1 * factorial0(0), 已知n 等於 0 時候，factorial0的結果是正確的，因此factorial1在n 等於0 和 n等於1的時候也都能正常工做。

一樣的原理，咱們能夠繼續構造出factorail2, factorial3, factorial4….

因此能夠概括出通用的factorial函數定義應該是長這個樣子的：

const factorialn = makeFactorial(makeFactorial(...)); // 無窮個makeFactorial
複製代碼

到這裏，咱們進一步思考🤔，有沒有什麼辦法能讓這個makeFactorial函數不停遞歸下去呢？

咱們先定義一個基本循環函數:

const loop = x => x(x);
複製代碼

這樣當我用這個函數調用makeFactorial的時候，就會調用makeFactorial(makeFactorial)，不過這樣的定義好像缺乏動力。要讓它不停循環下去，咱們可讓它再自身調用一次：

const loop = (x => x(x))(x => x(x))
複製代碼

能夠看到當你將x = x => x(x)代入到loop函數後，展開結果以下:

const loop = (x => x(x))(x => x(x))
複製代碼

是否是又回到以前的定義了？

不過這樣一個函數在javascript中使用是不行的，由於在javascript中參數是計算完後再傳入到函數中去的，因此咱們要延遲參數的計算， 將代碼改爲以下:

const loop = (x => x(x))(y => x(x)(y))
複製代碼

引入參數y後，只有最終展開到最後一層的時候，纔會開始計算值，這也是延遲計算的思想。

有了這個loop函數後，咱們最終的factorial函數就很容易構造了：

const factorial = loop(makeFactorial);
複製代碼

咱們在控制檯試一下效果:

factorial(4) = 24
複製代碼

實際上上面定義的那個loop函數，它就叫作Y組合子（Y combinator)。這也是在lambda演算中很是著名的一個概念，它是在不支持遞歸的編程語言中實現遞歸的關鍵，也是學習lambda演算理論的一個難點。要完全理解它可能還須要多花點時間思考。

總結

至此，咱們已經實現了數據，計算，邏輯和控制語句還有最重要的遞歸。這幾個部分實際上是編程語言中最核心的組成部分。從一個基本的組成元素——函數，再經過幾個法則，就能夠構建成整個計算機編程語言的核心要素，這就是lambda演算的神奇之處。

固然，整個lambda演算的理論要完全理解確定是不那麼容易的，這篇文章也只是我的學習後的一些思路梳理，不免有所錯漏。你們若是在閱讀過程當中，發現有不對的地方，歡迎交流指正。

——--轉載請註明出處--———

最後，歡迎你們關注個人公衆號，一塊兒學習交流。

參考資料

cgnail.github.io/academic/la…

mindhacks.cn/2006/10/15/…

mvanier.livejournal.com/2897.html

zh.wikipedia.org/wiki/邱奇數?wp…

zh.wikipedia.org/wiki/不動點組合子…

zh.wikipedia.org/wiki/不動點?wp…