coin

Decsription

　　數據範圍：\(n<=3000,m<=300\)，保證\(\forall i,\sum\limits_{j}p_{ij}=1000\)
　　

Solution

　　平常指望算不對。。

　　首先比較明顯的一點是，每種類型是獨立的，咱們能夠分開來考慮

　　先來想一個比較直接的dp

　　用\(a[i][j]\)表示第\(i\)我的最喜歡\(j\)的機率，記\(f[c][i][j]\)表示前\(i\)我的裏面剛好有\(j\)我的最喜好類型\(c\)，轉移顯然：
\[ f[c][i][j]=f[c][i-1][j]*(1-a[i][j])+f[c][i-1][j-1]*a[i][j] \]
　　再考慮用\(g[i][j]\)表示第\(i\)種鈔票攜帶了\(j\)張，指望拿走的數量，那麼有轉移：
\[ \begin{aligned} g[i][j]&=\sum\limits_{k=0}^mmin(k,j)*f[i][n][k]\\ &=\sum\limits_{k=0}^j k*f[i][n][k]+\sum\limits_{k=j+1}^mj*f[i][n][k]\\ \end{aligned} \]
　　而後咱們就能夠用一個揹包求出答案了，可是這樣不管是空間仍是時間都很爆炸

　　

​　　考慮\(\nabla g[i][j]=g[i][j]-g[i][j-1]\)，也就是\(\nabla g[i][j]=\sum\limits_{k=j}^m f[i][n][k]\)，首先注意到\(f[i][n][k]\)在\(i\)肯定的狀況下大小必定是隨着\(k\)的增大而增大的，而後再看回這個\(\nabla g[i][j]\)，顯然這個東西的值應該是非負的，而且當\(i\)必定，\(\nabla g[i][j]\)的值隨着\(j\)的增大而單調不升

​　　因此咱們能夠獲得一個結論，當\(i\)肯定的時候，\(g[i][j]\)是不降的，而且增幅逐漸降低

​ 　　

　　而後又由於每種鈔票是獨立的，咱們能夠考慮一個貪心

　　枚舉\(n\)張鈔票的每一張都選什麼，對於每一種鈔票\(c\)，咱們維護一個隱性的\(p_c\)（說是「隱性」是由於在實現的時候你並不須要真的去維護這麼一個東西），表示鈔票\(c\)當前已經取了\(p_c\)張，那麼從貪心的角度來看，咱們當前枚舉到的這張鈔票，確定但願新加入這張鈔票以後，對應的\(g[c]\)的增幅最大，因此就能夠獲得一個大體的流程：從\(1\)到\(n\)枚舉每一張鈔票選什麼，對於第\(i\)張鈔票，\(O(m)\)求得最大的\(g\)的增幅，加入答案，而後對於選擇的這個種類\(c\)，更新其\(g\)值

​　　如今的問題就是怎麼維護增幅，爲了方便下面只針對肯定的\(c\)類鈔票進行表述

　　一開始的時候\(p_c=0\)，\(g[c][0]\)到\(g[c][1]\)的增幅是很好計算的，\(\nabla g[c][1]=1-\prod\limits_{i=1}^n(1-a[i][c])\)，可是\(\nabla g[c][2]\)看起來就不能那麼直接地進行計算了，因此咱們仍是看回這個式子：\(\nabla g[i][j]=\sum\limits_{k=j}^mf[i][n][k]=1-\sum\limits_{k=0}^{j-1}f[i][n][k]\)，那因此咱們只要對於第\(c\)種鈔票維護\(f[c][i][j]\)就好，而後維護一個\(sum[c]=\sum\limits_{k=0}^{p_c}f[c][n][k]\)，每次更新完\(f[c]\)以後把\(f[c][n][p_c]\)加到\(sum[c]\)裏面就行了

​　　接下來就是空間怎麼解決：對於\(f[c][i][j]\)來講，咱們是按照\(j\)進行dp的，顯然\(j\)那維能夠滾動掉，\(f[c][][j]\)到\(f[c][][j+1]\)的更新是\(O(n)\)的，而後咱們就得到了一個\(O(nm)\)的算法

　　

　　mark：（弱智操做）誰告訴你聽算指望的時候能夠欽定順序的？？？

​　　

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=3010,M=310;
double sum[N],f[2][M][N];
double a[N][M];
int now[M],pre[M];
int n,m;
double ans;
void dp(int x){
    swap(now[x],pre[x]);
    int Now=now[x],Pre=pre[x];
    f[Now][x][0]=0;
    for (int i=1;i<=n;++i)
        f[Now][x][i]=f[Now][x][i-1]*(1-a[i][x])+f[Pre][x][i-1]*a[i][x];
}
 
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("a.in","r",stdin);
#endif
    int x;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=1;j<=m;++j)
            scanf("%d",&x),a[i][j]=1.0*x/1000;
    for (int i=1;i<=m;++i){
        f[0][i][0]=1;
        for (int j=1;j<=n;++j)
            f[0][i][j]=f[0][i][j-1]*(1-a[j][i]);
        sum[i]=f[0][i][n];
    }
    for (int i=1;i<=m;++i) now[i]=0,pre[i]=1;
    int which;
    double mx;
    for (int j=1;j<=n;++j){
        mx=0; which=-1;
        for (int i=1;i<=m;++i)
            if (1-sum[i]>mx)
                which=i,mx=1-sum[i];
        ans+=mx;
        dp(which);
        sum[which]+=f[now[which]][which][n];
    }
    printf("%.10lf\n",ans);
}