AVL樹

詳細描述，好像跟我本身寫的差很少......不過終究是大神級別，講的就是透徹

1. 概述

AVL樹是最先提出的自平衡二叉樹，在AVL樹中任何節點的兩個子樹的高度最大差異爲一，因此它也被稱爲高度平衡樹。AVL樹得名於它的發明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis。AVL樹種查找、插入和刪除在平均和最壞狀況下都是O（log n），增長和刪除可能須要經過一次或屢次樹旋轉來從新平衡這個樹。

2. 基本術語

有四種種狀況可能致使二叉查找樹不平衡，分別爲：

（1）LL：插入一個新節點到根節點的左子樹（Left）的左子樹（Left），致使根節點的平衡因子由1變爲2

（2）RR：插入一個新節點到根節點的右子樹（Right）的右子樹（Right），致使根節點的平衡因子由-1變爲-2

（3）LR：插入一個新節點到根節點的左子樹（Left）的右子樹（Right），致使根節點的平衡因子由1變爲2

（4）RL：插入一個新節點到根節點的右子樹（Right）的左子樹（Left），致使根節點的平衡因子由-1變爲-2

針對四種種狀況可能致使的不平衡，能夠經過旋轉使之變平衡。有兩種基本的旋轉：

（1）左旋轉：將根節點旋轉到（根節點的）右孩子的左孩子位置

（2）右旋轉：將根節點旋轉到（根節點的）左孩子的右孩子位置

3. AVL樹的旋轉操做

AVL樹的基本操做是旋轉，有四種旋轉方式，分別爲：左旋轉，右旋轉，左右旋轉（先左後右），右左旋轉（先右後左），實際上，這四種旋轉操做兩兩對稱，於是也能夠說成兩類旋轉操做。

基本的數據結構：

 1 typedef struct Node* Tree;  2 typedef struct Node* Node_t;  3 typedef Type int;  4  
 5 struct Node{  6  Node_t left;  7  Node_t right;  8  int height;  9  Type data; 10 }; 11 int Height(Node_t node) { 12  return node->height; 13 }

3.1 LL

LL狀況須要右旋解決，以下圖所示：

1 Node_t RightRotate(Node_t a) { 2  b = a->left; 3  a->left = b->right; 4  b->right = a; 5  a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right)); 6  b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right)); 7  return b; 8 }

3.2 RR

RR狀況須要左旋解決，以下圖所示：

1 Node_t LeftRotate(Node_t a) { 2  b = a->right; 3  a->right = b->left; 4  b->left = a; 5  a->height = Max(Height(a->left), Height(a->right)); 6  b->height = Max(Height(b->left), Height(b->right)); 7  return b; 8 }

3.3 LR

LR狀況須要左右（先B左旋轉，後A右旋轉）旋解決，以下圖所示：

1 Node_t LeftRightRotate(Node_t a) { 2  a->left = LeftRotate(a->left); 3  return RightRotate(a); 4 }

3.4 RL

RL狀況須要右左旋解決（先B右旋轉，後A左旋轉），以下圖所示：

1 Node_t RightLeftRotate(Node_t a) { 2  a->right = RightRotate(a->right); 3  return LeftRotate(a); 4 }

4. AVL數的插入和刪除操做

(1) 插入操做：實際上就是在不一樣狀況下采用不一樣的旋轉方式調整整棵樹，具體代碼以下：

 1 Node_t Insert(Type x, Tree t) {  2  if(t == NULL) {  3    t = NewNode(x);  4  } else if(x < t->data) {  5    t->left = Insert(t->left);  6    if(Height(t->left) - Height(t->right) == 2) {  7     if(x < t->left->data) {  8      t = RightRotate(t);  9     } else { 10      t = LeftRightRotate(t); 11  } 12  } 13  } else { 14    t->right = Insert(t->right); 15    if(Height(t->right) - Height(t->left) == 2) { 16     if(x > t->right->data) { 17      t = LeftRotate(t); 18     } else { 19      t = RightLeftRotate(t); 20  } 21  } 22  } 23  t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1; 24  return t; 25 }

(2) 刪除操做：首先定位要刪除的節點，而後用該節點的右孩子的最左孩子替換該節點，並從新調整以該節點爲根的子樹爲AVL樹，具體調整方法跟插入數據相似，代碼以下：

 1 Node_t Delete(Type x, Tree t) {  2  if(t == NULL) return NULL;  3  if(t->data == x) {  4   if(t->right == NULL) {  5    Node_t temp = t;  6    t = t->left;  7  free(temp);  8   } else {  9    Node_t head = t->right; 10    while(head->left) { 11     head = head->left; 12  } 13    t->data = head->data; //just copy data
14    t->right = Delete(t->data, t->right); 15    t->height = Max(Height(t->left), Height(t->right)) + 1; 16  } 17   return t; 18  } else if(t->data < x) { 19   Delete(x, t->right); 20   if(t->right) Rotate(x, t->right); 21  } else { 22   Delete(x, t->left); 23   if(t->left) Rotate(x, t->left); 24  } 25  if(t) Rotate(x, t); 26 }

5. 總結

AVL樹是最先的自平衡二叉樹，相比於後來出現的平衡二叉樹（紅黑樹，treap，splay樹）而言，它如今應用較少，但研究AVL樹對於瞭解後面出現的經常使用平衡二叉樹具備重要意義。

 

原文摘自：

參考：http://dongxicheng.org/structure/avl/