[NOIP2012]疫情控制

• 洛谷
• LOJ（增強版）

你爲何要讀這篇文章（本文涉及的內容）：本題（包括加強版）的算法的詳細描述與貪心的正確性證實。

解答

2020-03-12 edit：

偶然翻到這篇博文，感受本身寫的題解是真的太毒瘤了……連我本身都看不懂本身寫了啥。

作了一點修改與補充，enjoy！

二分答案+貪心。

約定

下文中，咱們：

• 用\(d(u,v)\)表示在樹上\(u\)和\(v\)兩點之間的距離，
• 用\(tree(u)\)表示\(u\)的子樹內的全部節點的集合，
• 用\(son(u)\)表示\(u\)的全部兒子節點的集合，
• 用\(leaf(u)\subseteq tree(u)\)表示\(tree(u)\)中的全部葉子節點。

初步

考慮\(leaf(u)\)被控制的充分必要條件：

• 存在軍隊\(x\)是\(u\)的祖先，或
• 對於每個\(v\in son(u)\)，\(leaf(v)\)都已經被控制。

爲了簡化問題，咱們先考慮在二分到\(mid\)時，哪些軍隊的位置是固定的。

顯然，對於那些「不能到達根節點」，即\(d(x,1)>mid\)的軍隊\(x\)，儘可能向上移動是最優的。

那麼，能夠用倍增在\(O(\log n)\)時間內處理出這些軍隊的最終位置，能夠經過 DFS 求出根的哪些兒子的子樹（的葉節點）沒有被（徹底）控制，設其集合爲\(S_1\subseteq son(1)\)。（顯然，其餘節點都部署在根的兒子上)

貪心

以後，就是考慮可以到達根\(1\)的節點如何部署的問題了。因爲離根越遠的兒子越難知足，根據貪心的原則，優先考慮離根最遠的兒子\(u\)：

1. 若是\(u\)的子樹內有能夠到達\(u\)的軍隊，取距根最遠的（可部署的）\(x\)部署。
2. 不然（或者該子樹內全部軍隊均已被部署），取到\(1\)最近的軍隊\(x\)部署。

一個實現上的優化：若\(u\)的子樹內能夠到達\(u\)且離\(u\)最遠的軍隊已經被部署，則\(u\)的子樹內已經沒有未被部署的軍隊（由於老是由近到遠選擇軍隊部署），直接轉到2便可。

正確性

若某個可行解裏\(x\)部署到了\(v\in S_1,v\ne u\)上（或者沒有部署，此時正確性是顯然的），考慮該解中，部署在\(u\)的軍隊\(x'\)，則其能夠與\(x\)交換部署的位置。咱們來證實這一點。

有假設，顯然有\(d(x',u)\le mid,d(x,v)\le mid\)。此外，\(x\)必定能夠部署到\(u\)上，有\(d(x,u)\le mid\)。

故咱們只須要說明\(x'\)能夠部署在\(v\)上，即\(d(x',v)\le mid\)便可。咱們來分狀況說明這一點：

如下的證實爲了避免把行內公式寫得太長，跳過了一些步驟。

具體證實最多隻需用到\(d(x,y)\le d(x,z)+d(z,w)\)，就做爲留給讀者的練習了~

1. 若\(x\)在\(u\)子樹內：此時\(d(x,v)=d(x,u)+d(u,v)\)
   1. 若\(x'\)在\(u\)子樹內：
      • 此時\(d(x',v)=d(x',u)+d(u,v)\)。
      • 則由\(x\)的距離\(1\)的最遠性，有\(d(x',v)\le d(x,v)\le mid\)。
      • 故\(x'\)能部署在\(v\)上。
   2. 不然，\(x'\)不在\(u\)子樹內：
      • 則由\(u\)距離\(1\)的最遠性，有\(d(u,1)\ge d(v,1)\)。
      • 可獲得\(d(x',v)\le d(x',u)\le mid\)。
      • 故\(x'\)能部署在\(v\)上。
2. 若\(x\)不是\(u\)子樹內的節點：顯然此時\(x'\)不可能在\(u\)子樹內。
   • 則由1.2的證實方法，可得\(d(x',v)\le d(x',u)\le mid\)。

那麼（基本上只須要按照上面的描述）直接寫就能夠了。（注意細節……這題畢竟是個紫題……）

LOJ上的增強版

增強版的數據要求算法複雜度只能一個\(\log\)，怎麼辦？

顯然，二分答案這一步是沒辦法去掉的……只能嘗試把判斷可行性優化到\(O(n)\)。

注意到在\(mid\)時間內處理出（不）能夠到\(1\)的軍隊是簡單的：預先處理出全部\(d(x,1)\)並排序，則答案爲一個它的一個前綴。

考慮不倍增怎麼求\(1\)的「哪些\(u\in son(v)\)的子樹被控制」。換句話說，對於一個節點\(u\in son(1)\)，咱們須要知道：

1. 它的（全部）子樹是否所有被（徹底）控制。
2. 有沒有一個軍隊能夠到\(u\)（的祖先），便是否存在\(x\)知足\(d(x,1)>mid,d(x,u)\le mid\)。

標記那些\(d(x,1)>mid\)的軍隊\(x\)（在樹上的位置），在 DFS 到\(u\)時顯然能夠全部\(v\in son(u)\)的子樹是否被控制，以及節點\(u\)距離最近的\(x\in tree(u)\)的距離，判斷是否有\(d(x,u)\le mid\)便可。

LOJ最短代碼 （寫文章時）