整數的故事(1)

　　程序設計課程老是充滿趣味，在學習了判斷和循環後就能夠編寫一些有意思的代碼。記得我在初學編程時，老師曾出過一個題目：找出兩個整數的最大公約數。當時我在黑板上寫下了本身的實現方式：

 1 def gcd(a, b):  2     if a == b:  3         return a  4 
 5     if a < b:  6         a,b = b,a  7 
 8     result = [i for i in range(1, b + 1) if a % i == 0 and b % i == 0]  9 
10     return  result.pop()

　　 運行結果是正確的，回到座位上，我爲此高興了兩分鐘。

　　後來老師寫出了另外一個實現：

1 def gcd(a, b): 2     if b == 0: 3         return a 4     else: 5         return gcd(b, a % b)

　　 個人第一反應是：「嗯？」

　　遺憾的是，我並無對這段代碼深究，只是簡單的記住了這種方法，反正都交給計算機計算，何須在意快慢呢？

　　後來學了數據結構，知道了用大O評估算法效率，我這纔開始從新審視那段尋找最大公約數的代碼——它實際上使用了傳說中的「展轉相除」，要真正弄清楚前因後果，還要從整數提及……

整除和餘數

　　咱們都曾經用笨拙的聲音從1數到10，這大概是人生中第一次接觸數學。稍大一點後，懂得了零的概念，再後來知道了有負數存在……這些美好的記憶都有整數伴隨在左右。隨着年齡的增加和知識的提高，咱們知道了更多關於整數的知識，這其中就包括整除和餘數。

歐幾里德算式

　　數學中是以數軸分段的方式定義整除的，若是n是一個正整數，那麼能夠用n的倍數將數軸分紅不少段：

 

　　若是將一個整數m放在數軸上，那麼m將正好位於qn和(q+1)n之間，其中q也是一個整數：

 

　　若是m正好是n的整數倍，那麼m=qn，不然能夠寫成m=qn+r形式，qn是在m左側最近的n的整數倍，r是qn到m的距離。若是把兩種狀況合併，那麼m老是能夠寫成下面的形式：

 

　　對於特定的n來講，m的表達式惟一的，這種表達式叫作歐幾里德算式，也叫作除法算式。

　　看着挺唬人，其實歐幾里德算式有更常見的描述：若是m,n都是整數，而且n≠0，那麼老是存在q和r，0≤r<|n|，使得m有惟一的表達式：

　　其中q是商，r是餘數，若是r=0，則稱m 可以被n整除，或n能整除m，記做n|m。看來歐幾里德算式只不過是從代數上解釋了什麼是整除，什麼是餘數。

　　 示例   找出q和r

 　　

　　1和2比較簡單：

 

　　3可能會出點差錯：

 

　　計算機運行的結果：

　　看來計算機認爲是另外一種答案：

 

　　定義終於顯現出做用了，在餘數的定義中0≤r<|n|，r=-1不知足這個條件，因此正確答案是q=-3,r=4。

整除的性質

　　整除有一些被人們熟知的性質，若是a,b,c都是整數，則：

　　1. 若是a|b且a|c，則a|(b+c)

　　2. 若是a|b，則a|cb

　　3. 若是a|b且b|c，則a|c

　　因爲0不能做爲除數，因此a|b包含的默認條件是a≠0。

　　此外還有一個推論，若是a,b,c都是整數，當a|b且a|c時，對於任意整數m和n，都有a|(mb+nc)。

　　除法是乘法的逆運算，這些性質和推論其實都是根據乘法的分配律和結合律推導而來的。

素數

　　整數的故事中少不了素數，它的另外一個名稱是質數（prime number），是一種大於1整數。素數是這樣定義的：設p是大於1的正整數，若是能整除p的正整數只有p和1，那麼p就是一個素數。其中1比較特殊，它不是素數，是單位數。2,3,5,7,11是素數，4,6,8,10,12不是素數。

尋找素數

　　看起來判斷一個整數是不是素數很簡單，但這句話僅適用於較小的整數，稍大一點的整數就沒那麼容易判斷了，1234567是不是素數？給你10秒鐘時間。

　　這種複雜的問題仍是交給計算機去處理：

 1 # 判斷a是不是素數
 2 def is_prime(a):  3     if a < 2:  4         return False,a  5     elif a == 2:  6         return True,a  7 
 8     # 用從 2 到 a-1 之間的每一個數除以a，看看那個能被整除
 9     divisors = [x for x in range(2, a) if a % x == 0] 10 
11     return len(divisors) == 0,divisors 12 
13 print(is_prime(1234567))

　　is_prim返回一個包含兩個元素的元組，第一個元素回答了a是不是素數，另外一個回答了除了1和自身外，a還有哪些約數。

　　結果顯示1234567是不一個素數，除了1和自身外，它還有127和9721兩個因數。

尋找素數2.0版

　　is_prime方法可以正確運行，但仍然有改進的餘地。根據歐幾里德算式，m=qn，q和n兩者此消彼長，它們的平衡點是根號m，這意味着只要判斷2到根號m間是否存在可以被m整除的數就能夠；此外，一個大於2偶數必定不是素數，因此只須要判斷奇數便可。由此獲得了判斷素數的改進版：

 1 import math  2 
 3 # 判斷a是不是素數
 4 def is_prime_2(a):  5     if a < 2:  6         return False  7     elif a == 2:  8         return True  9     elif a % 2 == 0: 10         return False 11 
12     result = True 13     # 取 math.sqrt(a) 的整數部分
14     end = int(math.sqrt(a)) 15     q = 3
16     while(q <= end): 17         if a % q == 0: 18             result = False 19             break
20         q += 2
21 
22     return result

整數分解

　　咱們知道多項式的因式分解，相似地，整數也能夠分解，能夠將一個正整數寫成它的幾個約數因子的乘積，這就是整數分解（integer divisorization）。

素因子表達式

　　大於1的整數分解能夠更進一步，使每一個因子都是素數。對於每個大於1的正整數m來講，能夠惟一地寫成：

　　其中p_i是能整除m的素數因子，p₁<p₂<…<p_t；k_i是p_i出現的次數。這種表達式被稱爲整數m的素因子表達式，對於任意m，它的素因子表達式是獨一無二的。將m寫素因子表達式的過程叫作素因子分解。

　　素因子表達也從另外一個層面（非素數的層面）定義了素數：若是一個大於1的整數m不是素數，那麼m必定可以分解成2個或兩個以上素數的乘積，而且這個表達式是惟一的。

 

　　示例  寫出7、9、20、30的素因子表達式

　　7自己是一個素數，只能整數分解成1×7，但1並非素數，因此7的素因子表達式就是7自己。

　　可使用下面的代碼進行整數的素因子分解：

 1 # 獲取a的全部除1和自身外的約數
 2 def get_divisors(a):  3     return [x for x in range(2, a) if a % x == 0]  4 
 5 # 素因子分解
 6 def prim_division(a):  7     if is_prime_2(a):  8         return [a]  9 
10     result = [] 11     divisors = get_divisors(a) 12     for divisor in divisors : 13         while True: 14             if a % divisor != 0: 15                 break
16             if is_prime_2(divisor): 17  result.append(divisor) 18                 a /= divisor 19             else: 20                 break
21 
22     return result

 　　好了，咱們已經知道整數能夠素因子分解，可是這有什麼用呢？

　　數學的發展來源於實踐，不能用的東西大概也沒人去研究。素因子分解的用處還挺多，它能夠用來證實素數有無窮個，根號2是無理數，還能夠用於密碼學、計算複雜理論，甚至用於量子計算等等。接下來就舉幾個例子，看看素因子分解到底是怎麼使用的。

素數有無窮個嗎？

　　老師：素數有無窮個嗎？

　　同窗：固然了！

　　老師：爲何呢？

　　同窗：沒有爲何啊，它固然是無窮的，這還要正明嗎？隨便給出一個素數，不是很容易的例舉出比它更大的素數嗎？

　　老師：可是素數沒什麼先驗的理由必須有無窮多個啊。若是寫出一個至關長的，可以繞地球一圈的素數，你能保證必定有一個更大的素數嗎？

　　同窗：……

　　老師：其實你已經回答了，隨便給出一個素數，確實可以例舉出比它更大的素數，只不過咱們須要使用反證法來證實。

　　假設素數的個數是有限的，那麼這些素數均可以用集合的形式列舉出來：

　　P就是集合中最大的素數。

　　根據整數的素因子分解，一個大於1的正整數能夠分解成若干個素數的乘積，那麼存在一個整數M，它等於Ω中全部元素的乘積加1：

　　M確定比P更大，P已經被假定是最大的素數，因此M確定不是素數。素因子表達式告訴咱們，M若是不是素數，則必定可以分解成若干個素數的乘積，由於已經假設Ω中包含了全部的素數，因此M也必定可以分解成Ω中若干個元素的乘積。可是如今M除以Ω中的全部元素都會產生餘數1，這意味着M只能被M或1整除，因此M也是一個素數，這與「M確定不是素數」矛盾，所以「素數有無窮個」。

　　注：「素數有無窮個」這一命題最先的證實出如今古希臘數學家歐幾里得 (Euclid) 的《幾何本來》上，這一命題也所以被稱爲了 「歐幾里得定理」 (Euclid's theorem) 或 「歐幾里得第二定理」 (Euclid's second theorem)。

根號2爲何「無理」

　　老師：根號2是一個無理數，它無限不循環，沒有盡頭。

　　同窗：爲何呢？也許它在繞地球一圈後循環了。

　　老師：它確實是不循環的，能試試本身證實嗎？

　　同窗：仍是使用反證法嗎？

　　老師：是的。證實的時候別忘了素因子分解。

　　假設根號2 是一個有理數，根據有理數的定義，有理數是一個整數a和一個正整數b的比，這樣一來，就能夠得出：

　　其中a/b不能通分，也就是說a和b是互素的（a和b的公約數只有1）。

　　如今將等式兩側同時平方：

　　2b²確定是偶數，因此a²也是偶數，若是a是奇數，則a²也是奇數，因此a只能是偶數，a必定能夠素因子分解成：

　　將a²=2b²等式兩側同時除以2：

 

　　a²是偶數，a²/2仍是偶數。a²/2= b²因此b²也是偶數，b仍然是偶數，b能夠素因子分解成：

 

　　如今2|a而且2|b，這和a、b 互素矛盾，因此根號2是無理數。

 

　　待續

 

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 　　做者：我是8位的

　　出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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