揭祕四處碰壁小球之命運

有這麼一個問題，初看起來人畜無害，但細思極恐，和你們分享。

分析

將小球的速度分解爲沿X軸的v_x和沿Y軸的v_y。因正方形邊長等於1，不妨令v_x = EB = a，v_y = FB = b。

小球能夠從E左側或者右側返回。從E左側返回時，小球沿兩軸走過的路程都是偶數。寫成方程就是：

$$\frac{2n}{b}=\frac{2m}{a},\ m,n \in \mathbb{N}.$$

所以小球從左側返回初始點的充要條件是b/a是有理數。小球從左側返回E點後，一切恢復到出發時的狀態，後續動做只能是周而復始地運行下去。設n/m=b/a是最簡分式，這個運動的週期就是2n/b。

從E右側返回時，小球沿Y軸走過的路程還是偶數，沿X軸走過的路程變成偶數加一次EB折返：

$$\frac{2n}{b} = \frac{2m+2a}{a},\ m,n \in \mathbb{N}.$$

所以小球從右側返回初始點的充要條件是方程y/b = x/a + 1有天然數解。設最小解爲x=p, y=q，則第一次從右側返回的時間就是2q/b。小球從右側出發，又從右側原路返回，故小球必在途中某點掉頭。這個點只能是角點。

注意這種狀況並不要求b/a是有理數。

1. 若b/a是有理數，則因爲運動的週期性，第一次右側返回必定發生在第一次左側返回以前，且後續交替從左側和右側返回。

2. 若b/a是無理數（例：a=√2/2，b=√2-1），則右側返回一次後小球就不再會回到E點了。

若是b/a是無理數且方程y/b = x/a + 1無天然數解，小球出發後永遠不會返回。這種狀況佔絕大多數。

解方程的難度

經過以上討論發現，小球的運動模式徹底依賴於下面這兩個方程的天然數解。

$$\frac{y}{b} = \frac{x}{a} \qquad \qquad \text{(1)}$$

$$\frac{y}{b} = \frac{x}{a} + 1 \qquad \ \, \text{(2)}$$

• 若是a、b都是有理數，方程(1)天然知足。方程(2)是一個線性整數方程，能夠按照必定步驟求解或確認無解。

• 若是a、b之一是有理數而另外一個是無理數，則兩個方程都無解。

• 若是a、b都是無理數，方程(1)至關於判斷實數的有理性，而根據維基百科，迄今人們還不知道π + e、π^√2等數是否是有理數。方程(2)的難度應該不低於方程(1)。

因此好比說你要是問 a=π-e, b=1/3 時，小球能返回嗎？個人答案是不知道！

結論

經過以上討論可總結出下表。

狀況	解天然數方程 y/b = x/a	解天然數方程y/b = x/a + 1	週期	首次返回時間	首次返回碰撞次數	碰角點總次數
1	有最小解x=m,y=n	有最小解x=p,y=q	2n/b	2q/b	2(p+q)	∞
2	有最小解x=m,y=n	無解	2n/b	2n/b	2(m+n)	0
3	無解	有最小解x=p,y=q	∞	2q/b	2(p+q)	1
4	無解	無解	∞	∞	0	0

圖例
狀況1
狀況2
狀況3
狀況4？