程序員的數學

菜單導航

一、經常使用數學公式： 等差/等比數列通項和求和、指數、對數、排列組合等

二、邏輯且/或/非/異或，和餘數

三、數學概括法

四、遞歸

五、指數爆炸

六、反證法

 

1、經常使用數學公式

1.0  實數：有理數和無理數的總稱，經常使用字母R表示實數集；

　　有理數是整數和分數的集合，有理數的小數部分是有限或者無限循環的數；小數部分爲無限不循環的數爲無理數；

　　天然數：全體非負整數組成的集合，經常使用字母N來表示

　　質數：又稱素數，大於1的天然數中，除了1和它自己之外再也不有其餘因數；因數：又叫約數，整數a除以整數b(b≠0)的商正好是整數而沒有餘數，則b是a的因數；

　　冪：乘方的結果。a = n^m, 指m個n相乘，把n^m乘方的結果a叫作冪，也叫n的m次冪；

1.1  等差數列

　　定義：一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數。這個數列就叫作等差數列，這個常數也叫等差數列的公差，公差經常使用字母d表示。

　　通項公式：      ,        a1爲等差數列首項，公差爲d, 爲 第n項 

　　求和公式：  ，   Sn爲數列前n項之和

　　等差中項：等差數列中，如有n+m=2*r,  則任意兩項  的關係爲：

　　其餘：跟等差數列知識相關的一個有趣故事是：「高斯求和」

1.2 等比數列

　　定義：一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數。這個數列就叫作等比數列，這個常數也叫等比數列的公比，公比一般用字母q表示。

　　通項公式： （n∈N*）,當q>0時，可把看作是自變量n的函數，點(n, )是曲線 上的一羣孤立的點。

　　求和公式：   或   （q≠1）。

　　等比中項：  ； 即等比數列中，若q+p = 2r, 則有， 爲等比中項。

 　　其餘：跟等比數列知識相關的一個有趣故事是：「棋盤上的麥粒」

1.3 指數函數

　　定義：通常地，函數(a爲常數且以a>0，a≠1)叫作指數函數, 函數的定義域是R，自變量x就叫作指數，常數a叫底數。

　　　　　　對於一切指數函數來說，值域爲(0， +∞)；指數函數的前係數爲1；

　　指數型函數：y = (k≠1), 格式像指數函數，但不是指數函數；

　　冪函數：通常地，y=x^α（α爲有理數）的函數，即以底數爲自變量，冪爲因變量，指數爲常數的函數稱爲冪函數。

　　　　　　例如函數y=x⁰ 、y=x²、y=x^-1（注：y=x^-1=1/x、y=x⁰時x≠0）等都是冪函數。

 　  指數函數經常使用公式：

　　1.3.1：    ；         ；  （同底相乘，指數相加；同底相除，指數相減）   

　　1.3.2：      （指數的指數，指數相乘）

　　1.3.3：

1.4 對數函數

　　定義：通常地，對數函數以冪（真數）爲自變量，指數爲因變量，底數爲常量的函數。

　　　　　好比a^x = n（a>0，且a≠1），那麼數x叫作以a爲底n的對數，記做x=log_an，讀做以a爲底n的對數，其中a叫作對數的底數，n叫作真數。

　　　　　通常地，函數y=log_ax（a>0，且a≠1）叫作對數函數，也就是說以冪（真數）爲自變量，指數爲因變量，底數爲常量的函數，叫對數函數。

 　　經常使用公式：

　　1.4.1 ：；    ；   負數和零無對數；

　　1.4.2 ：  *  = 1 ；

　　1.4.3 ：  ；

　　1.4.4：

　　1.4.5：

　　1.4.6：  

　　1.4.7：

幾張圖表以下：

 

1.5 排列組合

　　1.5.1 階乘：階乘是指一個運算符號，一個正整數的階乘（factorial）是全部小於及等於該數的正整數的積，而且0的階乘爲1。

　　　　　　　天然數n的階乘寫做n!，亦即n!=1×2×3×...×n。階乘亦能夠遞歸方式定義：0!=1，n!=(n-1)!×n。

　　1.5.2 排列定義：從n個不一樣元素中，任取m(m≤n,m與n均爲天然數,下同）個元素按照必定的順序排成一列，叫作從n個不一樣元素中取出m個元素的一個排列；

　　　　　　　　從n個不一樣元素中取出m(m≤n）個元素的全部排列的個數，叫作從n個不一樣元素中取出m個元素的排列數，用符號 A(n,m）表示。

　　1.5.3 排列計算公式： 

　　1.5.4 組合定義：從n個不一樣元素中，任取m(m≤n）個元素併成一組，叫作從n個不一樣元素中取出m個元素的一個組合；

　　　　　　　　　從n個不一樣元素中取出m(m≤n）個元素的全部組合的個數，叫作從n個不一樣元素中取出m個元素的組合數。用符號 C(n,m) 表示。

　　1.5.5 組合計算公式： 

　　1.5.6 排列和組合區別：排列是講究排序的，而組合不考慮元素排序，通常來講，從n中不一樣元素取出m個元素的排列，要比組合數量多。

　　　　　　　對於組合公式的理解，相對排列而言會繞一點，這裏試圖解釋一下組合公式：

　　　　　　從n個不一樣元素中取出m個元素的全部組合個數，能夠理解成先從n個不一樣的元素中取出m個元素的全部排列個數爲Anm    （即A(n, m) ），

　　　　　　而後由於m個元素的排序方式共有m!（即m*(m-1)*(m-2)*...*1, m的階乘）種，而組合不考慮元素排序，至關於數量A(n, m)中重複了m!次，

　　　　　　因此排序數量A(n, m)  除以 排序方式數量m! ,  則是咱們須要的沒有重複的組合數量了，即C(n, m) = A(n, m) / m!

　　

2、邏輯且/或/非/異或，和餘數

2.1 計算機爲何採用二進制計數法

　　2.1.1 在10進制計數法中，位數少，可是數字的種類多。（對於人類來講，比較易用）

　　2.1.2 在二進制計數法中，數字的種類少哦，可是位數多。（對於計算機來講，這種比較易用）

2.2 指數的法則：對於指數 a^n, n每減1，新的值就變成原來的1/a，即a^(n-1) 爲 a^n的1/a

2.3 零的做用：用來表示佔位；也用來統一標準，簡化規則；

2.4 邏輯

　　命題：可以判斷對錯的陳述句叫作命題。命題正確時，則該命題爲「真」（true）；反之，命題不正確時，稱該命題爲「假」（false）。

　　在創建規則時，須要確認規則有沒有「遺漏」和「重複」；

　　沒有「遺漏」，即完整性，明確此規則在什麼狀況下都能適用；沒有「重複」，即具有排他性，明確此規則不存在矛盾之處。

　　邏輯從根本上說是對完整性和排他性的組合表達。

　　邏輯非：非真爲假，非假爲真；

　　邏輯且：A和B都爲真時，纔是真；A和B只要有一個爲假，則爲假；

　　邏輯或：A和B只要有一個爲真，則結果爲真；A和B都爲假，則爲假；

　　邏輯異或：A和B一真一假，則結果爲真；A和B都爲真，或者都爲假，則結果爲假；

　　德·摩根定律：「非A」或者「非B」, 和非「A與B」是等價的； 「非A」而且「非B」，和非「A或B」是等價的；

2.5 卡諾圖：簡化複雜邏輯表達式的有效工具

　　2.5.1 二燈遊戲（綠燈、黃燈）：

　　　　規則：1）綠燈滅，黃燈亮；   

　　　　　　　2）綠燈、黃燈滅；   

　　　　　　　3）綠燈、黃燈都亮

　　　　命題A  :  綠燈亮

　　　　命題B :  黃燈亮

　　　　邏輯表達式爲：(非A 而且 B) 或者 (非A 而且 非B) 或者 (A 而且 B)

　　　　卡諾圖表示法（打上鉤）：

　　　　

　　2.5.3 三燈遊戲 （綠燈、黃燈、紅燈）

　　　　規則：1）綠燈、黃燈、紅燈都滅

　　　　　　　2）黃燈滅、紅燈亮

　　　　　　　3）綠燈滅、黃燈亮

　　　　　　　4）綠燈、黃燈、紅燈都亮

　　　　命題A : 綠燈亮

　　　　命題B : 黃燈亮

　　　　命題C : 紅燈亮

　　　　邏輯表達式：(非A 且 非B 且 非C) 或 (非B 且 C)  或 (非A且 B) 或 (A且B且C)

　　　　卡諾圖表示法（打鉤）：

　　　　　　

 

 

2.6 餘數的做用：分組，將較大的數字除一次就能分組

　　2.6.1 思考題：今天是週三，那麼100天后是周幾？ 一億天之後呢？（運用餘數思考）

　　2.6.2 思考題：今天是週三，10^100天后是周幾？（當計算有難度的時候，能夠試圖經過找規律來簡化問題）

　　2.6.3 思考題：1234567^987654321的個位數是什麼？（找規律：找出規律，再結合餘數，把大數字簡化成小數字）

　　2.6.4 思考題（黑白棋讀心術）：

　　　　　1）魔術師和他的徒弟在臺上表演，臺下有觀衆，魔術師蒙着眼睛，徒弟不容許說話，若干黑白棋(每一個黑白棋像硬幣樣，只是一面黑色，一面白色)；

　　　　    2）讓觀衆在桌子上隨機放7枚黑白棋的棋子排成一列。魔術師蒙着眼睛，看不到棋子；

　　　　　3）讓魔術師的徒弟在看完這7枚棋子後，在後面添加了一枚棋子，與其餘棋子並排。這時有8枚棋子，魔術師依然蒙着眼睛；

　　　　　4）這時讓觀衆能夠將其中1枚棋子翻轉，或者不翻轉任何棋子。此間，徒弟和觀衆不發一言，魔術師依然蒙着眼睛，不知道觀衆有沒有翻轉棋子；

　　　　　5）魔術師摘下眼罩，觀察8枚棋子，而後立刻就能判斷：「觀衆翻轉了棋子」 或 「沒有翻轉棋子」，識破觀衆的行爲。

　　　　問：魔術師是如何識破觀衆的行爲的？

 　　2.6.5 思考題（尋找戀人）：

　　　　在一個小王國中，有8個村子（A~H）。以下圖所示，各個村之間道路相連（黑點表示村子，線表示道路）。而你要尋找流浪在這個王國的你惟一的戀人。

　　　　你的戀人住在這8個村子中的某一個裏，她每過1個月便順着道路去另外一個村子，每月都必定會換村子，而後選擇哪一個村子是隨機的，預測不了。

　　　　例如：若是戀人這個月住在G村，那麼下一個月可能會住在「F、C、H中的某一個村子「。

　　　　目前你手上掌握的確鑿信息只是：1年前（12個月前），戀人住在G村。

　　　　如今問：這個月戀人住在A村的機率？（奇數、偶數）

　　　　

　　2.6.6 思考題（鋪設草蓆）：

　　　　以下圖所示，有這樣一個房間，使用圖中右下角所示的草蓆可以正好鋪滿房間嗎？（前提是不能使用半張草蓆）

　　　　若是不能鋪滿的話，請說明理由？

　　　　

　　2.6.7 思考題（哥尼斯堡七橋問題）：

　　　　以下圖所示，在好久之前，有一個叫哥尼斯堡的小城。小城被河流分割成了4塊陸地。人們爲了鏈接這些陸地，建設了7座橋。

　　　　如今要你找出走遍7座橋（a、b、c、d、e、f、g）的方法，可是，必須遵照如下條件：

　　　　　　1）走過的橋不能再走

　　　　　　2）能夠屢次通過同一塊陸地

　　　　　　3）能夠從任一陸地爲起點

　　　　　　4）不須要再回到起點

　　　　最後，若是可以走遍7座橋的話，請說明一下方法。若是不能，也請證實一下。

　　　　

 

3、數學概括法

3.1 斷言：判定一個特定前提爲真的陳述

3.2 數學概括法：數學概括法是證實有關整數的斷言對於0以上的全部整數（0、一、二、3...）是否成立時所用的方法。

3.3 數學概括法的證實方法步驟：

　　1）步驟1：證實「P(0)成立」。步驟1也叫基底（base）

　　2）步驟2：證實不論k爲0以上的哪一個整數，「若P(k)成立，則P(k+1)也成立」。步驟2也叫概括（induction）

　 若步驟1和步驟2都能獲得證實，就證實了「斷言P(n)對於0以上的全部整數n都成立」。

3.4 數學概括法實例(求奇數的和)：

　　3.4.1 斷言Q(n) : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2*n-1) = n^2

　　3.4.2 用數學概括法來證實「斷言Q(n)對於1以上的全部整數n都成立」

　　3.4.3 步驟1：基底的證實

　　　　 證實Q(1)成立。由於Q(1) = 1^2, 因此確實成立。步驟1證實完畢。

　　3.4.4 步驟2：概括的證實

　　　　證實k爲1以上的任意整數時，「若Q(k)成立，則Q(k+1)也成立」。

　　　　假設Q(k) = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2*k-1) = k^2 成立

　　　　則來證實等式Q(k+1)成立

　　　　

　　　　Q(k+1)的左邊和右邊計算結果相同。

　　　　由此，從Q(k)到Q(k+1)推導成功，步驟2獲得了證實。

　　　　至此，經過數學概括法的步驟1和步驟2都證實了斷言Q(n)。也就是說，經過數學概括法，證實了斷言Q(n)對於1以上的任意整數n都成立。

　　　　 

4、遞歸

4.1 思考題（漢諾塔）：

　　有三根細柱（A、B、C）。A柱上套着6個圓盤。這些圓盤大小各異，按從大到小的順序自下而上擺放。

　　如今要把A柱上的6個圓盤所有移到B柱上。而且在移動圓盤時須遵照如下規則：

　　1）一次只能移動柱子最上端的一個圓盤

　　2）小圓盤上不能放大圓盤。

　　將1一個圓盤從一根柱子移到另外一根柱子，算移動「1次」。那麼，將6個圓盤所有從A移到B最少須要移動幾回呢？

　　（能夠先經過3個圓盤、5個圓盤找出遞歸規律）

　　

　　先來看看3層漢諾塔的解法（移動7次）：

　　

　　發現移動2個圓盤的規律：

　　

 

4.2 遞歸的思惟方式：將複雜問題轉換成較爲簡單的同類問題。在問題中找出遞歸結構，根據遞歸結構創建遞歸公式。

4.3 思考題（不斷繁殖的動物）：

　　有一種動物，它出生2天后就開始以天天1只的速度繁殖後代。假設第一天，有一隻這樣的動物（該動物剛出生，從第三天起繁殖後代）。

　　問到第11天，共有多少隻？

 

5、指數爆炸

5.1 思考題（摺紙問題）：

　　假設如今有一張厚度爲1mm的紙，紙質很是柔軟，能夠對摺無數次。每對摺一次，厚度便翻一番。

　　已知地球距月球約39萬千米，請問對摺多少次後厚度可以超過月地距離呢？

5.2 指數爆炸：數字每次翻倍，而後咱們會發現這種數字會急速增加。這種狀況咱們叫它「指數爆炸」，也能夠稱爲「指數式增加」

5.3 思考題（尋找犯人，二分法查找）

　　有15個犯罪嫌疑人排成一排，其中只有一個是真正的「罪犯」。

　　你要經過問他們「罪犯在哪裏？」來找出 真正的罪犯。

　　假設選擇其中1人問：「罪犯在哪裏？」會獲得如下3鍾答案，其中有一個是正確的。

　　1）「我是罪犯」（詢問對象是罪犯時）

　　2）「罪犯在我左邊」

　　3）「罪犯在我右邊」

　　這時，僅經過3次問話就能從15人中找到真正的罪犯。那麼，應該怎麼問話呢？（找出地推結構以及遞推公式）

　　

　　

 

 

6、反證法

6.1 反證法

　　1）首先，假設「命題的否認形式」成立

　　2）根據假設進行論證，推導出矛盾的結果

　　一言以蔽之，反證法就是「先假設命題的否認形式成立，而後再進行推理，引出矛盾」

6.2 反證法實例：爲何不存在「最大的整數」？

　　假設存在「最大的整數」，並將它設爲M。

　　那麼M+1就比M大，這與M是最大的整數的假設相矛盾。

　　所以不存在「最大的整數」。

6.3 反證法實例2：請證實質數是無窮的

　　假設「質數不是無窮的」，即「質數的個數是有限的」成立。

　　假設質數的個數是有限的，因此全部質數的集合就能夠寫爲：

　　2,3,5,7，..., P

　　如今，將全部的質數（2,3,5,7，..., P）相乘，並設相乘的結果+1爲Q。

　　即Q = 2*3*5*7*...*P + 1

　　由於假設質數是有限個的，因此這個Q的大小也是有限的。

　　而Q比全部的質數相乘的結果大1，所以Q比任何質數（2,3,5,7，...,P）都大。

　　「Q比任何質數都大」也就意味着「Q不是質數」。

　　另外一方面，這個Q除以2,3,5,7，...，P中的任一一個數，餘數都是1（不能整除）。

　　這就代表，Q只能被1和Q自己整除，因此根據質數的定義可得「Q是質數」。

　　所以「Q不是質數」和「Q是質數」都成立，這是矛盾的。

　　所以，經過反證法證實了「質數是無窮的」。

 6.4 反證法的主意事項

　　反證法從「要證實的命題的否認形式」出發，即必須先假設錯誤的假設成立。

　　但到引出矛盾結論爲止的論證過程自己必須正確，之因此這麼說由於若是中途的論證出現錯誤，就不能得出「由於最初的假設錯誤，因此產生矛盾」的結論。

 

參考資料：百度百科，和《程序員的數學.（日）結城浩》