二分圖最大獨立集（最大團）

最大獨立集的定義

二分圖的最大獨立集是：一個最大的點的集合，該集合內的任意兩點沒有邊相連。

二分圖最大團的定義是：一個最大的點的集合，該集合內的任意兩點都有邊相連。

從定義能夠看出"二分圖的最大獨立集"和"二分圖補圖的最大團"是同樣的。

 

最大獨立集的求法

二分圖的最大獨立集 = 二分圖頂點數 - 二分圖最大匹配數。

設二分圖的頂點數爲n，最大匹配數是v。

二分圖的最大獨立集 = n - v。

(1)把二分圖的最大匹配從原圖中去掉，剩下的n - 2 * v個頂點確定是沒有邊相連的，若是還有邊相連那還叫二分圖最大匹配嗎。此時的n - 2 * v個頂點就是一個獨立集，但不是最大的。

(2)從每條匹配邊的兩端取一個結點加入獨立集中，能夠使得獨立集仍然是獨立集，因此此時獨立集的頂點數是n - v。爲何能夠從每條匹配邊的兩端各取一個點加入獨立集中呢？由於①要麼{x}到y4有一條邊，要麼②{y}到x4有一條邊，③要麼{x}到y4沒有邊且{y}到x4也沒有邊。不可能出現下圖這種狀況，④{x}到y4有邊且{y}到x4也有邊，那麼這就是一條增廣路了，與原先求出的最大匹配相矛盾，因此不可能出現下圖的狀況。

綜上所述，只會發生①②③這三種狀況，因此咱們必定能夠從每條匹配邊的兩端取一個結點加入到獨立集中。

 

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