一種高效整數開平方算法：逐比特確認法

在科學運算、圖形學、遊戲等不少領域中，開方是很常見卻又很是耗時的運算，所以必須使用快速（有時還要求準確）的開方算法。

提及開方算法咱們通常想到的是牛頓迭代法，這裏我介紹一種更好的方法——逐比特確認法。

逐比特確認法從數字的本質出發，關注結果的每一比特位。它從最高位開始，向低位逐一確認某位是0仍是1。在數字很大時這種方法的速度比牛頓法快很多。

要理解這種方法，得先了解二進制乘法。例如，對於數字10（二進制爲0b1010），平方爲100（二進制爲1100100），它的二進制平方運算過程爲：

1010 X 1010 ___________ 1010x1000 + 1010x 10 =========== 1000x1000 (*1) + 10x1000 (*2) + 1000x 10 (*3) + 10x 10 (*4) =========== 1000000 + 10000 + 10000 + 100 =========== = 1100100

開方則須要咱們反過來，已經有結果N = 1100100，判斷根sqrt的二進制：

首先1100100有8位，能夠判斷sqrt起碼有4位且不超過4位。若是sqrt有5位，那麼僅最高位10000*10000 = 1 0000 0000就已經大於N；若是sqrt只有3位，即便sqrt爲111結果110001也不超過6位。

如今判斷sqrt的第4位：若是第4位爲1 , sqrt平方運算中有上面（*1）這項

1000 X 1000 ========== 1000x1000 (*1) ========== = 1000000 (n4) < 1100100 (N)

結果 n4 < N 。容易判斷，第4位必定爲1。否則乘不出N這麼大的數。

如今判斷sqrt的第3位：若是第3位爲1，則sqrt爲1100，它的平方爲

1100 X 1100 ========== 1000x1000 (*1) 100x1000 1000x 100 100x 100 ========== = 10010000 (n43) > 1100100 (N)

結果n43 > N，因此這一位不是1，只能是0。

到目前爲止其實都是二分法的思路，先是2^3，而後是2^3 – (2^3 + 2^2)，這樣逐次將範圍減半。

可是這裏有個問題，後面每次都求了sqrt的平方，其實重複求了以前求過的一部分，例如在第二步中，咱們算了 1000x1000(*1)，這其實就是第一步中的算的。若是咱們每次算完平方，確認了這一位爲1後，就從N中減去這一部分的平方，那麼下次比較大小的時候就能夠少算這一位。

咱們從第二步從新開始:

咱們第一步確認了1000, 從N中減去它的平方 N = 1100100 - n4，結果爲N = 1000100。
若是第3位爲1, 那麼sqrt = 1100, 已確認的爲1000, 正在確認的爲100, 平方爲:

1100 X 1100 =========== (1000x1000)(已確認部分從N減去了,不計算) + 100x1000 (正在確認的*已確認的) + 1000x 100 (已確認的*正在確認的) + 100x 100 (正在確認的*正在確認的) =========== 2*(1000<<2) (1000*100 等於將1000左移2位) + 100<<2 =========== = 1010000 (n3) > 1000100 (N*)

和以前結果同樣, 大了,因此第3位爲0. 由於是0, 因此不必從N*裏減去.

如今判斷第2位: 若是爲1 則sqrt = 1010.

1010 X 1010 =========== (1000x1000)(已確認部分從N減去了,不計算) + 10x1000 (正在確認的*已確認的 = 將已確認部分前移1位) + 1000x 10 (已確認的*正在確認的 = 將已確認部分前移1位) + 10x 10 (正在確認的*正在確認的 = 將正在確認的前移1位) =========== 2*(1000<<1) + 10<<1 =========== = 1000100 (n2) = 1000100 (N*)

n2 = N*, 也就是說若這一位爲1, sqrt就是N的根. 後面應該都是0,無需繼續判斷.

但我還想繼續探究, 繼續把N減去新確認的部分: N* = 1000100 – n2 = 0。

若是第1位爲1，則sqrt= 1011, 平方運算爲：

1011 X 1011 =========== (1000x1000) (已確認部分從N減去了,不計算) ( 10x1000) (已確認部分從N減去了,不計算) (1000x 10) (已確認部分從N減去了,不計算) ( 10x 10 ) (已確認部分從N減去了,不計算) + 1x1010 (正在確認的*已確認的 = 將已確認部分前移0位) + 1010x 1 (已確認的*正在確認的 = 將已確認部分前移0位) + 1x 1 (正在確認的*正在確認的 = 將正在確認的前移0位) =========== 2*(1010<<0) + 1<<0 =========== = 10101 (n2) > 0 (N*)

因此這一位確定只能爲0. 最終結果爲sqrt = 1010.

這就是逐比特確認法。

說了這麼多，其實代碼很簡單：

 1 int sqrt_bv(int n)  2 {  3     int sqrt = 0;  4     int shift = 15;  5     int sqrt2;　　　　//已確認部分的平方  6     while (shift >= 0)  7  {  8         sqrt2 = ((sqrt << 1) + (1 << shift)) << shift;  9         if (sqrt2 <= n) 10  { 11             sqrt += (1 << shift); 12             n -= sqrt2; 13  } 14         shift--; 15  } 16     return sqrt; 17 }

 

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