後綴自動機(SAM)速成手冊！

時間 2020-05-21

標籤後綴自動機 sam 速成手冊简体版

原文原文鏈接

正好寫這個博客和個人某個別的需求重合了。。。我就來說一講SAM啦qwqhtml

後綴自動機，也就是SAM，是一種極其有用的處理字符串的數據結構，能夠用於處理幾乎任何有關於子串的問題，但以學起來異常困難著稱（在機房裏，最早學會SAM的永遠是大佬（好比litble和zyf（他在退役前就學了）））。算法

可是！！！當你學了SAM並熟練地刷了幾道題後，你會發現——你以前爲了學SAM而強行理解的許多定理，對你應用SAM一點用處也沒有！爲了引出構造算法，幾乎全部博客都會詳細地解釋「你爲啥要這樣作」，然鵝。。。數組

SAM徹底能夠當成黑盒來用！！！！！！ 數據結構

因此我打算寫一篇SAM速成博客。。。保證即學即會！學習

在構建以前你不得不知道的

Warning：想完全理解後綴自動機嗎？那你有好消息了！請當即關閉此頁面，在百度裏搜索「後綴自動機陳立傑」，開始愉快的學習吧！（講真，陳老師的ppt是講的最好的，別的博客無能出其右者）spa

SAM是一個DAG（有向無環圖），每一個點表明一個**"狀態"**，邊表明狀態轉移，邊上有一個字母。SAM有一個起始狀態（稱爲起點），從起點開始，沿着邊不斷走下去，就能夠獲得一個字符串。記當前停留節點爲$x$，走出來的字符串爲$S$，稱節點$x$可表明字符串$S$。記$x$可表明的串中長度最長的串的長度爲$len(x)$。指針

另外，除起點外的每一個節點還擁有一個**「後綴連接「**，記做$fa(x)$。後綴連接組成了一棵樹，別的性質在構建完以後再講。code

存儲SAM利用的是相似於Trie樹的存儲結構，即便用$ch[][26]$數組保存狀態轉移的邊。htm

知道了這些，構建SAM的工做就能夠開始了。blog

開始建造後綴自動機

準備工做：創建數組$ch,fa,len$，準備指針$last,cnt$。SAM的構造方法是不斷地向已經建好的SAM中加入新的節點。$last$表示上一個被插入的節點，$cnt$表示SAM中的節點數量。一開始，$last=cnt=1$，表示只有一個起點的初始SAM。

接下來，假設要往SAM里加入一個字符$x$。

新建節點$np=++cnt$。新建節點$p$。$p=last$。$ last=np$。
若是不存在$ch[p][x]$，令$ch[p][x]=np,p=fa[p]$。重複此步驟。
若是到最後尚未一個$p$擁有兒子$x$，令$fa[np]=1$。退出過程。
當$ch[p][x]$出現時，令$q=ch[p][x]$。若是$len[q]==len[p]+1$，令$fa[np]=q$。退出過程。
不然有點麻煩。新建節點$nq=++cnt$，將$q$的兒子都複製給$nq$，令$len[nq]=len[p]+1$。
令$fa[nq]=fa[q],fa[q]=fa[np]=nq$。
從$p$開始沿着後綴連接，將全部$ch[p][x]==q$的節點的$ch[p][x]$都替換成$nq$。

將你的字符串的全部字符都一一進行如上操做後，你就獲得了用你的字符串構建出來的SAM。

你不須要知道爲何這麼操做能夠獲得SAM，你只須要記下如下的代碼，作幾道題強化記憶，而後就能夠用SAM的性質來秒題了。

void insert(int x)
{
    int np=++cnt,p=last;
    len[np]=len[p]+1,last=np;
    while(p&&!ch[p][x])ch[p][x]=np,p=fa[p];
    if(!p)fa[np]=1;
    else
    {
        int q=ch[p][x];
        if(len[q]==len[p]+1)fa[np]=q;
        else
        {
            int nq=++cnt;len[nq]=len[p]+1;
            memmove(ch[nq],ch[q],sizeof(ch[nq]));
            fa[nq]=fa[q],fa[np]=fa[q]=nq;
            while(ch[p][x]==q)ch[p][x]=nq,p=fa[p];
        }
    }
}

後綴自動機的奇妙性質

如今，你已經擁有SAM了，你須要知道它有什麼用。這裏列舉了SAM的一些基本且經常使用的性質。

請牢記如下每一條內容！都十分有用！不要去問「爲何是這樣的」！（若是必定要問，請參照上文藍色放大的Warning）

首先，SAM的點數與邊數都是$O(n)$的。記住，因爲每次插入最多新建兩個點，因此應該開字符總量兩倍的空間。計算空間時別忘了你開了26倍的$ch$數組。

在SAM上從起點開始沿着邊隨便走走，獲得的必定是子串。同時，每個子串均可以在SAM上走出一條惟一對應的路徑。也就是說，子串和SAM上從起點開始的每一條路徑一一對應。路徑數等於子串數。

起點能夠看作是表明空串的點。

重點：定義子串的$right$集合：這個子串在原串中全部出現的位置的右端點的集合。

好比說：AAAABBAAAAABAAABBAA

子串AAB出現了3次，右端點集合爲${5,12,16}$。這就是子串AAB的$right$集合。

一個節點可以表明的全部子串的$right$集合是同樣的。$right$集合相等的子串必定被同一個節點表明。（因此，咱們會使用「節點的$right$集合」這個說法。）兩個節點的$right$集合之間要麼真包含，要麼沒有交集。若節點$y$的$right$集合包含了節點$x$的$right$集合，那麼$y$能表明的子串均爲$x$能表明的子串的真後綴。

重點：定義節點$x$的後綴連接$fa(x)$：若是有一些節點的$right$集合包含了$x$的$right$集合，$fa(x)$是其中$right$集合的大小最小的那一個。

後綴連接們組成了一棵「後綴連接樹」（不是後綴樹）。後綴連接樹的根爲起點。若節點$y$的$right$集合包含了節點$x$的$right$集合，那麼$y$在後綴連接樹上是$x$的祖先。

一個節點的$right$集合等於他在後綴連接樹上的全部兒子的$right$集合的並集。並且兒子的$right$集合之間兩兩沒有交集。

每一個節點能表明的子串的長度範圍是一段連續的區間。這很好理解，由於它們的結束位置都是相同的。

咱們求出每一個節點能表明的最長串的長度（即$len(x)$）了，那最短長度呢？其實就等於後綴父親節點的$len+1$。也就是說，全部本質不一樣的子串的數量等於$\sum len(x)-len(fa(x))$。