點分治&動態點分治小結

有的時候，咱們會發現這樣一類題：它長得很像一個$O(n)$的樹規，數組

可是卻很難用單獨的數組維護對應的信息，這樣咱們就有了澱粉質點分治。數據結構

經過直接統計（$O(nlogn)$）或者加上數據結構（好比樹狀數組，堆，線段樹等等）維護信息($O(nlog^{2}n)$),ide

這篇博客將會介紹點分治以及動態點分治的簡單應用，但願閱讀本文的你能有所收穫，那就再好不過了。測試

Description

聰聰和可但是兄弟倆，他們倆常常爲了一些雜事打起來，例如家中只剩下最後一根冰棍而兩人都想吃、兩我的都想玩兒電腦（但是他們家只有一臺電腦）……遇到這種問題，通常狀況下石頭剪刀布就行了，但是他們已經玩兒膩了這種低智商的遊戲。他們的爸爸快被他們的爭吵煩死了，因此他發明了一個新遊戲：由爸爸在紙上畫n個「點」，並用n-1條「邊」把這n個「點」剛好連通（其實這就是一棵樹）。而且每條「邊」上都有一個數。接下來由聰聰和可可分別隨即選一個點（固然他們選點時是看不到這棵樹的），若是兩個點之間全部邊上數的和加起來剛好是3的倍數，則判聰聰贏，不然可可贏。聰聰很是愛思考問題，在每次遊戲後都會仔細研究這棵樹，但願知道對於這張圖本身的獲勝機率是多少。現請你幫忙求出這個值以驗證聰聰的答案是否正確。

Input

輸入的第1行包含1個正整數n。後面n-1行，每行3個整數x、y、w，表示x號點和y號點之間有一條邊，上面的數是w。

Output

以即約分數形式輸出這個機率（即「a/b」的形式，其中a和b必須互質。若是機率爲1，輸出「1/1」）。

Sample Input

5
1 2 1
1 3 2
1 4 1
2 5 3

Sample Output

13/25
【樣例說明】
13組點對分別是(1,1) (2,2) (2,3) (2,5) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (4,3) (4,4) (5,2) (5,3) (5,5)。

【數據規模】
對於100%的數據，n<=20000。

拿到本題，一個顯然的思路是統計長度爲3的倍數的路徑個數，再比上總的路徑個數便是答案。

那麼咱們發現，3的倍數%3=0（廢話……），所以咱們能夠設$f[i][0/1/2]$爲以i爲根的子樹，向下伸出的路徑中長度%3=0/1/2的路徑數。

這樣咱們在每個點簡單的合併一下（注意去掉同一子樹的貢獻）便可。

這樣的作法顯然是$O(n)$的對吧……

如今讓咱們考慮一個蠢一點的作法：

咱們依然考慮每一個點做爲路徑頂點時符合條件的點的個數，那麼咱們能夠考慮它的每一個子樹，

數一下里面每一個路徑的條數，而後合起來對吧。

對於這個節點子樹中的節點，咱們是化做子問題遞歸處理的。

那麼咱們能夠把樹換個形狀……換一個順序來遞歸處理

因爲重心有個性質：到其餘點的距離和最小，

那咱們能夠暴力數一下每種長度0/1/2的路徑有多少，再暴力加上，而後對於被這個重心分割出的幾個子樹分治遞歸解決……

這樣找重心的複雜度呢？咱們最多找$log$次重心就會只剩下一個點，所以複雜度爲$O(nlogn)$. (由於每次找到一個重心，新的子樹最可能是原來子樹大小的一半)

那麼介紹一下咱們必須的操做：

首先是初始化以及數組定義。個人習慣是這樣的：

1 int size[N],maxs[N],totsize,root;
2 bool vis[N];
3 inline void intn()
4 {
5     maxs[0]=inf,root=0,dfs1(1,0),solve(root);
6 }

其中$size[i]$表示目前以i點爲根的子樹size大小 $maxs[i]$爲i點size最大的兒子的size（這個「兒子」能夠是i點在有根樹中的父親）

$totsize$爲當前聯通塊大小 $root$爲最終的重心 $vis[i]$表示i點是否已經被選取做爲重心。vis保證咱們能夠「截取」出準確的對應聯通塊而後是找重心的部分：

 1 inline void dfs1(int rt,int fa)
 2 {
 3     size[rt]=1,maxsize[rt]=0;
 4     for(int i=adj[rt];i;i=s[i].next)
 5         if(s[i].zhong!=fa&&!mark[s[i].zhong])
 6         {
 7             dfs1(s[i].zhong,rt),
 8             size[rt]+=size[s[i].zhong],
 9             maxsize[rt]=max(maxsize[rt],size[s[i].zhong]);
10         }
11     maxsize[rt]=max(maxsize[rt],totsize-maxsize[rt]);
12     if(maxsize[rt]<maxsize[root])root=rt;
13 }

這其實相似一個樹規的$O(n)$過程……這樣找到最後$root$就是重心。而後是solve過程：

 1 inline void solve(int rt)
 2 {
 3     vis[rt]=1;
 4 　　/*
 5 　　　　deal with ans
 6 　　*/
 7     for(int i=adj[rt];i;i=s[i].next)
 8         if(!vis[s[i].zhong]）
 9             totsize=size[s[i].zhong],root=0,
10             dfs1(s[i].zhong,0),solve(root);
11 }

咱們在每一次肯定的重心上進行計算，calc函數的內容隨題目而變，可是大概是長這樣的…… 本題的完整代碼：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #define N 20010
 4 #define inf 0x7fffffff
 5 #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
 6 int n,e,adj[N],root,totsize,size[N],maxsize[N];
 7 struct edge{int zhong,val,next;}s[N<<1];
 8 inline void add(int qi,int zhong,int val)
 9     {s[++e].zhong=zhong;s[e].next=adj[qi];adj[qi]=e;s[e].val=val;}
10 bool mark[N];
11 inline void dfs1(int rt,int fa)
12 {
13     size[rt]=1,maxsize[rt]=0;
14     for(int i=adj[rt];i;i=s[i].next)
15         if(!mark[s[i].zhong]&&s[i].zhong!=fa)
16             dfs1(s[i].zhong,rt),size[rt]+=size[s[i].zhong],
17             maxsize[rt]=max(maxsize[rt],size[s[i].zhong]);
18     maxsize[rt]=max(maxsize[rt],totsize-size[rt]);
19     if(maxsize[rt]<maxsize[root])root=rt;
20 }
21 int cnt[3],dist[N],ans;
22 inline void dfs2(int rt,int fa)
23 {
24     ++cnt[dist[rt]];
25     for(int i=adj[rt];i;i=s[i].next)
26         if(!mark[s[i].zhong]&&s[i].zhong!=fa)
27             dist[s[i].zhong]=(dist[rt]+s[i].val)%3,
28             dfs2(s[i].zhong,rt);
29 }
30 inline int calc(int rt,int stval)
31 {
32     dist[rt]=stval,cnt[0]=cnt[1]=cnt[2]=0,dfs2(rt,0);
33     return cnt[0]*cnt[0]+2*cnt[1]*cnt[2];
34 }
35 inline void solve(int rt)
36 {
37     mark[rt]=1,ans+=calc(rt,0);
38     for(int i=adj[rt];i;i=s[i].next)
39         if(!mark[s[i].zhong])
40             ans-=calc(s[i].zhong,s[i].val),
41             totsize=size[s[i].zhong],root=0,
42             dfs1(s[i].zhong,0),solve(root);
43 }
44 inline int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
45 int main()
46 {
47     scanf("%d",&n);
48     register int i,a,b,c;
49     for(i=1;i<n;++i)
50         scanf("%d%d%d",&a,&b,&c),add(a,b,c%3),add(b,a,c%3);
51     totsize=n,root=0,maxsize[0]=inf;
52     dfs1(1,0),solve(root);
53     int di=n*n,d=gcd(di,ans);
54     printf("%d/%d\n",ans/d,di/d);
55 }

BZOJ2152

點分治&動態點分治小結

2152: 聰聰可可

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output

2599: [IOI2011]Race

1095: [ZJOI2007]Hide 捉迷藏

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output

HINT

3924: [Zjoi2015]幻想鄉戰略遊戲

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output

4012: [HNOI2015]開店

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output

HINT

3435: [Wc2014]紫荊花之戀

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output

HINT