Proximal Gradient Descent for L1 Regularization

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假設咱們要求解如下的最小化問題：
                                                                                \(  \min\limits_x f(x)  \) 。
若是\( f(x) \)可導，那麼一個簡單的方法是使用Gradient Descent (GD)方法，也即便用如下的式子進行迭代求解：
                                               \( x_{k+1} := x_{k} - \alpha \nabla f(x_{k}) \) 。
對GD的一種解釋是\( x_{k} \)沿着當前目標函數的降低方向走一小段，只要步子足夠小，總能保證獲得 \( f(x_{k+1}) \leq f(x_{k}) \)。

 

若是\( \nabla f(x) \)知足L-Lipschitz，即：
                                                 \( ||\nabla f(x') - \nabla f(x)|| \leq L ||x’ - x|| \)，
那麼咱們能夠在點\( x_{k} \)附近把\( f(x) \)近似爲：
                             \(  \hat{f}(x, x_k) \doteq f(x_k) + \langle \nabla f(x_k), x - x_k \rangle + \frac{L}{2} ||x - x_k||^2 \)。

把上面式子中各項從新排列下，能夠獲得：

                             

顯然\(  \hat{f}(x, x_k) \)的最小值在

                                                      \( x_{k+1} = x_k - \frac 1 L \nabla f(x_k) \)

得到。因此，從這個角度上看的話，GD的每次迭代是在最小化原目標的一個二次近似函數。

                                            

 

在不少最小化問題中，咱們每每會加入非光滑的懲罰項\( g(x) \)，好比常見的L1懲罰：\( g(x) = ||x||_1 \)。這個時候，GD就很差直接推廣了。但上面的二次近似思想卻能夠推廣到這種狀況：

                                。

這就是所謂的proximal gradient descent(PGD)算法。只要給定\( g(x) \)時下面的最小化問題能容易地求解，PGD就能高效地使用：

                                      。

好比\( g(x) = ||x||_1 \)時， \(\text{prox}_{\mu g} (z)\)可以經過所謂的soft thresholding得到：

                                                 \( \text{prox}_{\mu g} (z) = \text{sign}(z) \max\{|z| - \mu, \ 0\} \)。

 

[References]

[1] John Wright. Lecture III: Algorithms, 2013.