[知識點] 2.7 前綴和與差分

前言

沒有想到前綴和也被單獨拿出來做爲一節來說，不過也好，還能夠順便講講前面又碰到了一次的多維前綴和以及差分。

子目錄列表

 

2.7 前綴和與差分

一、前綴和

前綴和：對於數列 a，其第 1, 2, ..., i 項之和，即 a[1] + a[2] + ... + a[i]，稱爲數列 a 第 i 項的前綴和。

學太高中數學的數列章節就知道，「前綴和」和「前 n 項和 Sn」的概念是等價的。

前綴和有啥用？最簡單的，若是咱們要求數列某一個區間 [l, r] 之和，若是預處理了前綴和 sum，則直接 sum[r] - sum[l - 1] 就獲得了區間和。

 

二、差分

和前綴和相對的一個概念。

差分：對於數列 a，其第 i 個元素和第 i - 1 個元素的差稱爲數列 a 第 i 項的差分。

令差分數組爲 b，則存在：b[i] = a[i] - a[i - 1]

有意思的是，對差分數組求前綴和就又能夠獲得原數列 a 了。

sumb[i] = b[1] + b[2] + ... b[i] = a[1] + a[2] - a[1] + ... + a[i] - a[i - 1] = a[i]

那麼咱們拿着這個差分數組有什麼用捏？

【例題】給定一個數列 a，進行 m 次操做，每次給定三個值 l, r, p，操做類型以下：

① 1 l r p，表示對 a[l..r] 的每個元素加上 p；

② 2 l r，表示查詢 a[l..r] 的元素和。

確保全部操做 ① 執行完後纔會有操做 ②。

最簡單的作法就是對於修改操做逐一加上 p，對於查詢操做能夠用前面的前綴和來求。但注意到題目最後這個限定：全部修改操做會在任意查詢操做以前執行，這樣其實咱們能夠拿差分數組作文章，每次只修改差分數組的兩個端點便可，見下面的圖解舉例：

是否是很神奇呢？修改的方式很簡單，若是修改區間爲 [l, r]，則對 b[l] += p, b[r + 1] -=p，具體就不解釋緣由了。 

不過限定條件也體現出了這種方式的不足：差分數組至關於提供了一個臨時的方艙醫院，須要時間搭建，但一旦搭建好了就能很快收容大量病人，而等疫情結束後再拆除；普通醫院是現成的，但牀位不夠效率不高，然而適用於日常的各類疑難雜症，能夠隨時收治（好像也不是很恰當、）。

因此若是遇到修改操做和查詢操做交替出現的狀況，差分數組的便捷則徹底體現不出，須要反反覆覆地在原數組和差分數組之間轉化，那和直接枚舉的效率不相上下。但同時出現兩種操做顯然是更符合現實狀況的，而要解決這種問題，樹狀數組和線段樹（請參見：）都是很棒的方法，它們適用範圍更廣於差分數組，可是搭建起來，尤爲是線段樹，則較爲麻煩。

 

三、多維前綴和