約瑟夫環——公式法（遞推公式）

約瑟夫問題

約瑟夫問題是個著名的問題：N我的圍成一圈，第一我的從1開始報數，報M的將被殺掉，下一我的接着從1開始報。如此反覆，最後剩下一個，求最後的勝利者。
例如只有三我的，把他們叫作A、B、C，他們圍成一圈，從A開始報數，假設報2的人被殺掉。

• 首先A開始報數，他報1。僥倖逃過一劫。
• 而後輪到B報數，他報2。很是慘，他被殺了
• C接着從1開始報數
• 接着輪到A報數，他報2。也被殺死了。
• 最終勝利者是C

解決方案

普通解法

剛學數據結構的時候，咱們可能用鏈表的方法去模擬這個過程，N我的看做是N個鏈表節點，節點1指向節點2，節點2指向節點3，……，節點N-1指向節點N，節點N指向節點1，這樣就造成了一個環。而後從節點1開始一、二、3……往下報數，每報到M，就把那個節點從環上刪除。下一個節點接着從1開始報數。最終鏈表僅剩一個節點。它就是最終的勝利者。

缺點：

要模擬整個遊戲過程，時間複雜度高達O(nm)，當n，m很是大(例如上百萬，上千萬)的時候，幾乎是沒有辦法在短期內出結果的。

公式法

約瑟夫環是一個經典的數學問題，咱們不難發現這樣的依次報數，彷佛有規律可循。爲了方便導出遞推式，咱們從新定義一下題目。
問題： N我的編號爲1，2，……，N，依次報數，每報到M時，殺掉那我的，求最後勝利者的編號。

這邊咱們先把結論拋出了。以後帶領你們一步一步的理解這個公式是什麼來的。
遞推公式：
$f(N,M)=(f(N-1,M)+M)\%N$

• $f(N,M)$表示，N我的報數，每報到M時殺掉那我的，最終勝利者的編號
• $f(N-1,M)$表示，N-1我的報數，每報到M時殺掉那我的，最終勝利者的編號

下面咱們不用字母表示每個人，而用數字。
$一、 2 、 三、 四、5 、六、 7 、 八、 九、 十、 11$
表示11我的，他們先排成一排，假設每報到3的人被殺掉。

• 剛開始時，頭一我的編號是1，從他開始報數，第一輪被殺掉的是編號3的人。
• 編號4的人從1開始從新報數，這時候咱們能夠認爲編號4這我的是隊伍的頭。第二輪被殺掉的是編號6的人。
• 編號7的人開始從新報數，這時候咱們能夠認爲編號7這我的是隊伍的頭。第三輪被殺掉的是編號9的人。
• ……
• 第九輪時，編號2的人開始從新報數，這時候咱們能夠認爲編號2這我的是隊伍的頭。這輪被殺掉的是編號8的人。
• 下一我的仍是編號爲2的人，他從1開始報數，不幸的是他在這輪被殺掉了。
• 最後的勝利者是編號爲7的人。

下圖表示這一過程（先忽視綠色的一行）

如今再來看咱們遞推公式是怎麼獲得的！
將上面表格的每一行當作數組，這個公式描述的是：倖存者在這一輪的下標位置

• $f(1,3)$：只有1我的了，那我的就是獲勝者，他的下標位置是0
• $f(2,3)=(f(1,3)+3)\%2=3\%2=1$：在有2我的的時候，勝利者的下標位置爲1
• $f(3,3)=(f(2,3)+3)\%3=4\%3=1$：在有3我的的時候，勝利者的下標位置爲1
• $f(4,3)=(f(3,3)+3)\%4=4\%4=0$：在有4我的的時候，勝利者的下標位置爲0
• ……
• $f(11,3)=6$

很神奇吧！如今你還懷疑這個公式的正確性嗎？上面這個例子驗證了這個遞推公式的確能夠計算出勝利者的下標，下面將講解怎麼推導這個公式。
**問題1：**假設咱們已經知道11我的時，勝利者的下標位置爲6。那下一輪10我的時，勝利者的下標位置爲多少？
**答：**其實吧，第一輪刪掉編號爲3的人後，以後的人都往前面移動了3位，勝利這也往前移動了3位，因此他的下標位置由6變成3。

**問題2：**假設咱們已經知道10我的時，勝利者的下標位置爲3。那下一輪11我的時，勝利者的下標位置爲多少？
**答：**這能夠看錯是上一個問題的逆過程，你們都日後移動3位，因此 $f(11,3)=f(10,3)+3$。不過有可能數組會越界，因此最後模上當前人數的個數， $f(11,3)=（f(10,3)+3）\%11$

**問題3：**如今改成人數改成N，報到M時，把那我的殺掉，那麼數組是怎麼移動的？
**答：**每殺掉一我的，下一我的成爲頭，至關於把數組向前移動M位。若已知N-1我的時，勝利者的下標位置位 $f(N-1,M)$，則N我的的時候，就是日後移動M爲，(由於有可能數組越界，超過的部分會被接到頭上，因此還要模N)，既 $f(N,M)=(f(N-1,M)+M)\%n$

**注：**理解這個遞推式的核心在於關注勝利者的下標位置是怎麼變的。每殺掉一我的，其實就是把這個數組向前移動了M位。而後逆過來，就能夠獲得這個遞推式。

由於求出的結果是數組中的下標，最終的編號還要加1

下面給出代碼實現：

int cir(int n,int m)
{
	int p=0;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		p=(p+m)%i;
	}
	return p+1;
}