[Algorithm]扔杯問題

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問題:

有一種玻璃杯須要檢測質量。正好有一幢100層的高樓，該種玻璃杯從某一層樓扔下，恰好會碎。

現給你兩個玻璃杯，問如何檢測出這個杯子的質量，即找到這種玻璃杯在哪一層樓恰好會碎？

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思路歷程：

由於只有兩個玻璃杯，並且會摔碎，只能從區間中往上找，不能往下找，因此不能用二分法。

用一個杯子定區間，另外一個杯子定位置，關鍵在於區間怎麼劃分呢？

比較常見的思路：先等分區間的扔，再在區間中一層一層地扔，隱含着分段查找的策略。

具體操做方式：

[1...100]分爲10個區間，先從第10樓扔杯，再從第20樓扔杯，依次杯扔去，若是到某一層碎掉，

好比60層碎掉了，我再從51樓開始扔，這樣的話應該是比較快了吧？

這個方法快一點不過若是杯子的質量比較好，在99樓纔會恰好碎掉。

這樣最差的狀況下，須要扔（10+9）次才能找到目標樓層。

繼續思考剛纔方法的缺陷，當杯子質量比較差的時候，此方法仍是比較快速的找到樓層。

好比杯子是在19樓恰好碎，我只須要扔11次，

因此咱們的願望是：杯子的質量不管分佈在哪一個查找區間，均可以快速地找到。

因此想到的是能夠「勻」一下剛纔的思路方法。

即：最開始時大膽地扔，而後再慢慢當心地扔。在扔的過程當中逐漸縮小範圍。

具體方法設計：

每次扔的區間減小一層，這樣作能夠保證每一個區間查找的最差次數是同樣的。

那麼最開始在哪一層開始扔呢？

列出方程：x+(x-1)+(x-2)+...+2 >=100

解出： x = 14。

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解決方案：

第一個杯子：扔的層數依次是：1四、（14+13）、（14+13+12）、（14+13+12+11）、......

第二個杯子：從當前碎掉杯子區間的上一個區間。好比第一個杯子是在第四個區間即50層碎掉。

則第二個杯子從第三個區間的第二個元素開始扔，即從40層開始扔。就能找到恰好碎掉的樓層。

指望：

0.14*7.5+0.13*8+0.12*8.5+0.11*9+0.1*9.5+0.09*10+0.08*10.5+0.07*11+0.06*11.5+0.05*12+0.04*12.5+0.01*12 ＝ 9.47（次）