一道有意思的編程思考題：【妖怪和和尚過河問題】

無心中看到這麼一道題，以爲頗有意思，題目以下：

有三個和尚和三個妖怪要利用惟一的一條小船過河，這條小船一次只能載兩我的，同時，不管是在河的兩岸仍是在船上，只要妖怪的數量大於和尚的數量，妖怪們就會將和尚吃掉。如今須要選擇一種過河的安排，保證和尚和妖怪都能過河且和尚不能被妖怪吃掉。

看完題目，首先想到的是暴力搜索。不斷地窮舉下一步的可能性，直到最終達成目標。由於搜索過程當中可能會有重複的狀態，因此須要對狀態進行哈希。

如何表示當前的狀態？首先想到的是用多維數組進行哈希。咱們能夠用一個四維數組（其實徹底能夠用二維，左邊僧人妖怪的數量肯定後，相應地就能計算右邊了，須要多一步運算），假設左岸僧人和妖怪數量分別是 a 和 b，右岸僧人妖怪數量分別是 c 和 d，那麼咱們能夠用 [a][b][c][d]=true 表示這種狀況，也就是該狀態已經被搜索過了。這樣作還有個漏洞，船在左右兩邊是不一樣的狀況，因此還須要一個維度來表示船的位置，那麼能夠這樣，增長一維，用 [a][b][c][d][1]=true 表示船在左邊的狀況，用 [a][b][c][d][0]=true 表示船在右邊的狀況。這樣來表示狀態是徹底能夠的，可是衆所周知 JavaScript 下表示多維數組很是的麻煩，因此進一步思考能不能將狀態壓縮。

繼續看，最開始時的狀態，如上能夠表示爲 [3][3][0][0][1]，以後的搜索過程當中，狀態中的數字不可能大於 3，也就是數字的範圍在 0~3 中，這不是赤裸裸的四進制數嗎？因而咱們能夠將該狀態壓縮到一個四進制數 330001 中，可是四進制畢竟操做起來不大方便，能不能轉爲二進制？答案很明顯，一個四進制數能夠拆成兩個二進制，這樣就好辦了，將四進制的 33001 能夠轉成二進制 1111000001，二進制的各類運算就方便多了！

考慮到最後一個維度的特殊狀況，最終我決定將前四個維度用一個二進制來處理，第五個維度（船的位置）單獨處理，用一個二維數組進行狀態哈希。

很顯然，咱們須要能將數組和二進制數互換的函數。

簡單寫了兩個互換函數，將數組轉爲數字的。好比將 [3, 3, 0, 0] 轉爲二進制大小爲 11110000 的數字：

// array to number
function aton(a) {
  var sum = 0;
  for (var i = a.length; i--; ) {
    var index = 3 - i
      , item = a[i];

    (item & 1) && (sum |= (1 << (index << 1)));
    (item & 2) && (sum |= (1 << ((index << 1) | 1))); 
  }

  return sum;
}

將數字轉爲數組的，爲以上函數的逆運算：

// number to array
function ntoa(n) {
  var a = [];

  for (var i = 0; i < 4; i++) {
    var num = 0
      , index = 3 - i;

    num |= n & (1 << (index << 1)) ? 1 : 0;
    num |= n & ((1 << ((index << 1) | 1))) ? 2 : 0;
    a.push(num);
  }

  return a;
}

接下去就很是簡單了，進行深度優先搜索，每次搜索枚舉下一個可能的狀態，對該狀態進行哈希，並把該狀態存入答案數組中，枚舉完進行回溯。

// pos == 1 表示船在左邊
// pos == 0 表示船在右邊
function dfs(num, pos) {

  if (hash[num][pos])
    return;

  hash[num][pos] = true;

  var a = ntoa(num);

  var l_sNum = a[0];
  var l_yNum = a[1];
  var r_sNum = a[2];
  var r_yNum = a[3];

  pos ? a.push('left') : a.push('right');

  ans.push(a);  

  if (num === 15) { // [0, 0, 3, 3]
    // 打印答案
    ans.concat().forEach(function(item) {
      console.log(item.toString() + '->');
    });

    console.log('------------------');

    // backtrace
    hash[num][pos] = false;
    ans.pop();

    return;
  }

  // left to right
  if (pos) {
    for (var i = 0; i <= l_yNum; i++) // 妖怪過河數
      for (var j = 0; j <= l_sNum; j++) {  // 僧人過河數

        if (i + j === 0)
          continue;

        // 船上是否安全
        if (!checkIfSafe(j, i))
          continue;

        // 左岸是否安全
        if (!checkIfSafe(l_sNum - j, l_yNum - i))
          continue;

        // 右岸是否安全
        if (!checkIfSafe(r_sNum + j, r_yNum + i))
          continue;

        if (i + j > 2)
          break;

        // 過河後的數據
        var b = [l_sNum - j, l_yNum - i, r_sNum + j, r_yNum + i];
        dfs(aton(b), 0);
      }
  } else {  // right to left
    for (var i = 0; i <= r_yNum; i++)
      for (var j = 0; j <= r_sNum; j++) { 

        if (i + j === 0)
          continue;

        if (!checkIfSafe(j, i))
          continue;

        if (!checkIfSafe(r_sNum - j, r_yNum - i))
          continue;

        if (!checkIfSafe(l_sNum + j, l_yNum + i))
          continue;

        if (i + j > 2)
          break;

        // 過河後的數據
        var b = [l_sNum + j, l_yNum + i, r_sNum - j, r_yNum - i];
        dfs(aton(b), 1);
      }
  }

  // backtrace
  hash[num][pos] = false;
  ans.pop();
}

簡單地看下深度優先搜索的函數，每次根據船所在的位置，枚舉下個狀態值。這裏我寫了個 checkIfSafe 函數來判斷當前數量的僧人和妖怪在一塊兒，會不會有危險。函數很是簡單：

function checkIfSafe(sNum, yNum) {
  return sNum === 0 || sNum >= yNum;
}

最後的最後，解法有四種，大概是這個樣子：

3,3,0,0,left->
2,2,1,1,right->
3,2,0,1,left->
3,0,0,3,right->
3,1,0,2,left->
1,1,2,2,right->
2,2,1,1,left->
0,2,3,1,right->
0,3,3,0,left->
0,1,3,2,right->
1,1,2,2,left->
0,0,3,3,right->
------------------
3,3,0,0,left->
2,2,1,1,right->
3,2,0,1,left->
3,0,0,3,right->
3,1,0,2,left->
1,1,2,2,right->
2,2,1,1,left->
0,2,3,1,right->
0,3,3,0,left->
0,1,3,2,right->
0,2,3,1,left->
0,0,3,3,right->
------------------
3,3,0,0,left->
3,1,0,2,right->
3,2,0,1,left->
3,0,0,3,right->
3,1,0,2,left->
1,1,2,2,right->
2,2,1,1,left->
0,2,3,1,right->
0,3,3,0,left->
0,1,3,2,right->
1,1,2,2,left->
0,0,3,3,right->
------------------
3,3,0,0,left->
3,1,0,2,right->
3,2,0,1,left->
3,0,0,3,right->
3,1,0,2,left->
1,1,2,2,right->
2,2,1,1,left->
0,2,3,1,right->
0,3,3,0,left->
0,1,3,2,right->
0,2,3,1,left->
0,0,3,3,right->
------------------

完整代碼點 這裏。