PAM學習小結
PAM
迴文自動機html
建議先學習AC自動機：AC自動機講解超詳細c++
迴文自動機，顧名思義，用來處理迴文串的自動機。數組
功能：
1.求\(S\)串內本質不一樣的迴文串個數學習
2.求\(S\)串內本質不一樣的迴文串出現次數spa
3.最小回文劃分指針
4.\(S\)串中如下標\(i\)結尾的最長迴文串長度code
迴文樹
看看本身感悟一下。感受特別形象，都不用解釋了啊htm
仍是稍微解釋一下：blog
1.迴文數上每個節點表明了原串上出現過的一個本質不一樣迴文子串，原串上的每個迴文子串都在迴文樹上有對應。迴文樹上每個點表明的串都是迴文串。排序
2.迴文樹分兩部分，奇和偶，奇樹上的點表明的迴文串長度爲奇數，偶樹上的爲偶
3.兒子節點表明串長度爲父親節點表明串長度\(+2\)
4.和\(Trie\)類似的其餘性質，不說了
Fail指針
學過AC自動機的OIer們應該就很熟悉啦QwQ
\(Fail\)指針含義：這個節點所表明的迴文串的最長迴文後綴
Trans指針
通常作許多PAM題目經常使用的東西
\(Trans\)指針含義：小於等於當前節點長度一半的最長迴文後綴
構建PAM
咱們要維護如下信息
char s[maxn]; //原串 int fail[maxn]; //fail指針 int len[maxn]; //該節點表示的字符串長度 int tree[maxn][26]; //同Trie，指向兒子 int trans[maxn]; //trans指針 int tot,pre; //tot表明節點數，pre表明上次插入字符後指向的迴文樹位置
其中\(fail,len,tree,trans\)爲PAM上的信息
構建PAM的方法爲增量，即一個一個加入字符構建PAM
奇樹和偶樹的根長度\(len\)分別爲\(-1\)和\(0\)
設當前咱們插入原串中\(i\)位置的字符\(u\)
那麼以\(i\)爲結尾的最長迴文串應該爲(以\(i-1\)爲結尾的最長迴文串\(+u\))，而且那個迴文串要知足前一個字符等於\(u\)（否則就不是迴文串了啊）
要找到那個點很是簡單，不斷從\(pre\)開始跳\(fail\)，直到找到一個知足\(s[i-len[x]-1]==u\) 的節點\(Fail\) ，那麼從\(Fail\)建一個\(u\)兒子便可以表示新的迴文串。
新點的\(fail\)怎麼求呢。
明顯爲從\(pre\)開始跳\(fail\)，找到{ [第二個(知足\(s[i-len[x]-1]==u\)) 的節點\(x\) ]的\(u\)兒子 }
也就是從\(Fail\)開始跳\(fail\)，找到{ [第一個(知足\(s[i-len[x]-1]==u\)) 的節點\(x\) ]的\(u\)兒子 }
跳到根記得判斷
特別提醒:節點\(1\)爲奇根，節點\(0\)爲偶根，\(fail[0]=1\) , \(len[1]=-1\)
時間複雜度證實參考OIwiki：OIwiki-PAM
放代碼理解：
int getfail(int x,int i){ //從x開始跳fail，知足字符s[i]的節點
while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
void insert(int u,int i){
int Fail=getfail(pre,i); //找到符合要求的點
if(!tree[Fail][u]){ //沒建過就新建節點
len[++tot]=len[Fail]+2; //長度天然是父親長度+2
fail[tot]=tree[getfail(fail[Fail],i)][u]; //fail爲知足條件的次短迴文串+u
tree[Fail][u]=tot; //認兒子
}
pre=tree[Fail][u]; //更新pre
}
至於\(trans\)維護也和\(fail\)差很少
根據\(trans\)的定義去推一下怎麼搞吧
放一下完整代碼：
char s[maxn]; //原串
int fail[maxn]; //fail指針
int len[maxn]; //該節點表示的字符串長度
int tree[maxn][26]; //同Trie，指向兒子
int trans[maxn]; //trans指針
int tot,pre; //tot表明節點數，pre表明上次插入字符後指向的迴文樹位置
int getfail(int x,int i){ //從x開始跳fail，知足字符s[i]的節點
while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
int gettrans(int x,int i){
while(((len[x]+2)<<1)>len[tot]||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
void insert(int u,int i){
int Fail=getfail(pre,i); //找到符合要求的點
if(!tree[Fail][u]){ //沒建過就新建節點
len[++tot]=len[Fail]+2; //長度天然是父親長度+2
fail[tot]=tree[getfail(fail[Fail],i)][u]; //fail爲知足條件的次短迴文串+u
tree[Fail][u]=tot; //指兒子
if(len[tot]<=2)trans[tot]=fail[tot]; //特殊trans
else{
int Trans=gettrans(trans[Fail],i); //求trans
trans[tot]=tree[Trans][u];
}
}
pre=tree[Fail][u]; //更新pre
}
應用
P5496【模板】迴文自動機（PAM）
求第 i 個整數表示原串以第 i 個字符結尾的迴文子串個數，強制在線
明顯：一個迴文串的答案等於其最長迴文後綴的答案\(+1\) （這超好理解的吧
那就在多維護一個信息\(ans\)表示答案，新建節點時更新便可
ans[tot]=ans[fail[tot]]+1;
答案爲lastans=ans[pre];
代碼：
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 510001
using namespace std;
char s[maxn];
int fail[maxn],len[maxn],ans[maxn],trie[maxn][26];
int pre,slen,lastans,tot;
int getfail(int x,int i){
while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
int main(){
scanf("%s",s);slen=strlen(s);
fail[0]=1;len[1]=-1;tot=1;
for(int i=0;i<slen;i++){
if(i>=1)s[i]=(s[i]-97+lastans)%26+97;
int u=s[i]-'a';
int Fail=getfail(pre,i);
if(!trie[Fail][u]){
fail[++tot]=trie[getfail(fail[Fail],i)][u];
trie[Fail][u]=tot;
len[tot]=len[Fail]+2;
ans[tot]=ans[fail[tot]]+1;
}
pre=trie[Fail][u];
lastans=ans[pre];
printf("%d ",lastans);
}
return 0;
}
P4287[SHOI2011]雙倍迴文
學好\(trans\)指針，秒切此題
明顯：當存在\(i\)知足\(len[trans[i]]*2==len[i]\)而且知足題意中\(len[trans[i]]%2==0\)即爲符合題意的串，取最長便可。
代碼：真·模板
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 510001
using namespace std;
char s[maxn]; //原串
int fail[maxn]; //fail指針
int len[maxn]; //該節點表示的字符串長度
int tree[maxn][26]; //同Trie，指向兒子
int trans[maxn]; //trans指針
int tot,pre; //tot表明節點數，pre表明上次插入字符後指向的迴文樹位置
int getfail(int x,int i){ //從x開始跳fail，知足字符s[i]的節點
while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
int gettrans(int x,int i){
while(((len[x]+2)<<1)>len[tot]||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
void insert(int u,int i){
int Fail=getfail(pre,i); //找到符合要求的點
if(!tree[Fail][u]){ //沒建過就新建節點
len[++tot]=len[Fail]+2; //長度天然是父親長度+2
fail[tot]=tree[getfail(fail[Fail],i)][u]; //fail爲知足條件的次短迴文串+u
tree[Fail][u]=tot; //指兒子
if(len[tot]<=2)trans[tot]=fail[tot]; //特殊trans
else{
int Trans=gettrans(trans[Fail],i); //求trans
trans[tot]=tree[Trans][u];
}
}
pre=tree[Fail][u]; //更新pre
}
int slen,ans;
int main(){
scanf("%d",&slen);
scanf("%s",s);
fail[0]=1;len[1]=-1;tot=1;
for(int i=0;i<slen;i++)insert(s[i]-'a',i);
for(int i=2;i<=tot;i++){
if(len[trans[i]]*2==len[i]&&len[trans[i]]%2==0)
ans=max(ans,len[i]);
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
P4555[國家集訓隊]最長雙迴文串
題目描述： 順序和逆序讀起來徹底同樣的串叫作迴文串。好比`acbca`是迴文串，而`abc`不是（`abc`的順序爲`abc`，逆序爲`cba`，不相同）。 輸入長度爲n的串S，求S的最長雙迴文子串T,便可將T分爲兩部分X，Y，（|X|,|Y|≥1）且X和Y都是迴文串。
簡單PAM題
題解：
正着建一棵PAM，\(a[i]\)記錄當前位置\(i\)結尾最長迴文串長度
反着建一棵PAM，\(b[i]\)記錄當前位置\(i\)結尾最長迴文串長度
\(a[i]+b[i+1]\)即爲以\(i\)爲分界的雙迴文串
取\(a[i]+b[i+1]\)最大值即爲答案
代碼：封裝版PAM
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 510001
using namespace std;
char s[maxn];
int slen,a[maxn],b[maxn],ans;
struct PAM{
int fail[maxn],len[maxn],trie[maxn][26];
int tot,pre;
void init(){fail[0]=1;len[1]=-1;tot=1;pre=0;}
int getfail(int x,int i){
while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
void insert(int u,int i){
int Fail=getfail(pre,i);
if(!trie[Fail][u]){
fail[++tot]=trie[getfail(fail[Fail],i)][u];
trie[Fail][u]=tot;
len[tot]=len[Fail]+2;
}
pre=trie[Fail][u];
}
}A,B;
int main(){
scanf("%s",s);slen=strlen(s);A.init();B.init();
for(int i=0;i<slen;i++)A.insert(s[i]-'a',i),a[i]=A.len[A.pre];
reverse(s,s+slen); //翻轉
for(int i=0;i<slen;i++)B.insert(s[i]-'a',i),b[slen-i-1]=B.len[B.pre];
for(int i=0;i<slen-1;i++)ans=max(ans,a[i]+b[i+1]);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
P4762[CERC2014]Virus synthesis
PAM好題，請好好思考
題意：
初始有一個空串，利用下面的操做構造給定串 \(S\) 。
一、串開頭或末尾加一個字符
二、串開頭或末尾加一個該串的逆串
求最小化操做數， \(∣\ S∣≤10^5\) 。
題解：
PAM上dp
P1659[國家集訓隊]拉拉隊排練
一眼可得PAM
咱們令PAM上多記錄一個信息\(sum\)，表示該節點表示串在原串上出現了多少次。
當咱們處理完了\(sum\)，對於長度\(len\)爲奇數的節點的信息\(sum\)計入數組\(a[i]\).
\(a[i]\)爲長度爲\(i\)的迴文子串出現次數。
\(a[i]\)降序排序後累加答案快速冪處理一下便可，不需太多點撥
重點來了
講一下怎麼處理\(sum\)
咱們能夠發現當一個節點\(u\)的\(sum+1\)，那麼\(fail[u]\)的\(sum\)也要\(+1\)
熟悉AC自動機的OIer能夠敏銳的察覺到能夠用拓撲排序了（例如我
建PAM的時候打個標記，最後統一一個拓撲排序向\(fail\)去更新\(sum\)便可
queue<int >q; //in數組爲fail入邊數量
void tuopu(){
for(int i=0;i<=tot;i++)if(in[i]==0)q.push(i);
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
sum[fail[u]]+=sum[u];in[fail[u]]--;
if(in[fail[u]]==0)q.push(fail[u]);
}
}
好像沒什麼問題，多一個拓撲排序就好了
但真的如此嗎？
咱們觀察PAM和AC自動機的區別
AC自動機是建好\(Trie\)後再進行\(getFail\)的，\(fail\)的節點編號是會大於自身節點編號
而PAM不會出現這種狀況，PAM\(fail\)定義不一樣於AC自動機，構建使用增量法，保證了\(fail\)的節點編號必定小於自身節點編號。
因此就能夠不用拓撲排序了，直接一個\(for\)從後到前更新便可
for(int i=tot;i>=0;i--)sum[fail[i]]+=sum[i];
總代碼：
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1010001
#define ll long long
#define mod 19930726
using namespace std;
char s[maxn];
int fail[maxn],len[maxn],trie[maxn][26],trans[maxn];
long long sum[maxn];
int per,slen,tot;
long long a[maxn],K,ans=1;
int getfail(int x,int i){
while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
int gettrans(int x,int i){
while(((len[x]+2)<<1)>len[tot]||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
void insert(int u,int i){
int Fail=getfail(per,i);
if(!trie[Fail][u]){
len[++tot]=len[Fail]+2;
fail[tot]=trie[getfail(fail[Fail],i)][u];
trie[Fail][u]=tot;
if(len[tot]<=2)trans[tot]=fail[tot];
else{
int Trans=gettrans(trans[Fail],i);
trans[tot]=trie[Trans][u];
}
}
per=trie[Fail][u];
sum[per]++; //記錄sum
}
ll qpow(ll n,ll m){
ll ans=1ll;
while(m){
if(m&1){ans=ans*n;ans%=mod;}
n=n*n;n%=mod;m>>=1;
}return ans%mod;
}
int main(){
scanf("%d%lld",&slen,&K);
scanf("%s",s);
fail[0]=1;len[1]=-1;tot=1;
for(int i=0;i<slen;i++)insert(s[i]-'a',i);
for(int i=tot;i>=1;i--)sum[fail[i]]+=sum[i]; //更新sum
for(int i=2;i<=tot;i++)a[len[i]]+=sum[i],a[len[i]]%=mod; //長度處理
for(int i=slen;i>=1;i--){ //答案處理
if(i%2==1){
if(K>=a[i]){
ans*=qpow(i,a[i]);ans%=mod;
K-=a[i];
}else{
ans*=qpow(i,K);ans%=mod;
K-=K;
break;
}
}
}
if(K==0) //判-1
printf("%lld\n",ans%mod);
else
printf("-1\n");
return 0;
}
CF17E Palisection
卡空間PAM，2010沒有PAM，因此都是馬拉車
衆所周知，PAM擁有十分優秀的時間複雜度，但空間複雜度lj得不行
但這題卡空間，因此得用到鄰接鏈表PAM
先講思路
題目要求相交的迴文子串對，這很難作
因而咱們求補集，求不相交的迴文子串對，再用總數減便可
求法和上文的最長雙迴文子串 相似
正反建一次PAM，存該位置結尾的迴文子串個數，而後加法改乘法
本身領悟一下，挺簡單的。
如今講一下鄰接鏈表PAM
注意：鄰接鏈表PAM不是使空間變小了，而是用時間換空間
咱們記邊結構體\(line\)
存\(3\)個信息：\(nx,to,w\) 分別表示上一條邊，這條邊通向的節點編號，這條邊是表明哪一個字符
數組\(fir[i]\)表示\(i\)伸出的最後一條邊的編號（頭插式
當咱們要尋找\(u\)的\(v\)兒子
咱們就像鄰接鏈表同樣找，直到有一條邊的\(w==v\)爲止
找不到記得指根
int getson(int u,int v){
for(int i=u;i!=-1;i=l[i].nx)
if(l[i].w==v)return l[i].to;
return -1;
}
建點的時候把邊建上
void insert(int u,int i){
int Fail=getfail(pre,i),ls=getfail(fail[Fail],i);
if(getson(fir[Fail],u)==-1){
if(getson(fir[ls],u)==-1)fail[++tot]=0; //找不到指根
else fail[++tot]=getson(fir[ls],u); //找到了
l[++cnt]=(line){fir[Fail],tot,u};fir[Fail]=cnt; //加邊
len[tot]=len[Fail]+2;
ans[tot]=ans[fail[tot]]+1; //結尾迴文子串個數
pre=tot;
}else
pre=getson(fir[Fail],u);
}
然鵝事實上你仍然過不了，你還要繼續壓空間，省掉一堆數組就能夠過啦！
總代碼：
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 2000005
#define mod 51123987
using namespace std;
char s[maxn];
int slen,b[maxn];
long long res;
int fail[maxn],len[maxn],ans[maxn],fir[maxn];
struct line{int nx,to,w;}l[maxn];
int tot,pre,cnt;
void init(){
memset(fir,-1,sizeof(fir));cnt=0;
fail[0]=1;len[1]=-1;tot=1;pre=0;
}
int getfail(int x,int i){
while(i-len[x]-1<0||s[i-len[x]-1]!=s[i])x=fail[x];
return x;
}
int getson(int u,int v){
for(int i=u;i!=-1;i=l[i].nx)
if(l[i].w==v)return l[i].to;
return -1;
}
void insert(int u,int i){
int Fail=getfail(pre,i),ls=getfail(fail[Fail],i);
if(getson(fir[Fail],u)==-1){
if(getson(fir[ls],u)==-1)fail[++tot]=0;
else fail[++tot]=getson(fir[ls],u);
l[++cnt]=(line){fir[Fail],tot,u};fir[Fail]=cnt;
len[tot]=len[Fail]+2;
ans[tot]=ans[fail[tot]]+1;
pre=tot;
}else
pre=getson(fir[Fail],u);
}
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
scanf("%s",s);slen=strlen(s);init();
reverse(s,s+slen);
for(int i=0;i<slen;i++)insert(s[i]-'a',i),b[slen-i-1]=ans[pre];
for(int i=slen-1;i>=0;i--)b[i]+=b[i+1],b[i]%=mod;
reverse(s,s+slen);init();
for(int i=0;i<slen-1;i++){
insert(s[i]-'a',i);int x=ans[pre];
res+=(1ll*x*b[i+1])%mod,res%=mod;
}
printf("%lld\n",((1ll*b[0]*(b[0]-1)/2ll)%mod-res+mod)%mod);
return 0;
}
To be continue……
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