抽象代數基礎

抽象代數基礎掃盲

發現本身真的是對代數一無所知啊qwq。

本文沒有什麼實際性的內容，都是一些基本定義

代數的發展歷程

1. 算術(arithmetic)

算術是數學中最古老的部分，算術的最大特色是關注具體數字

1. 初等代數(elementary algebra)

初等代數是古老算術的推廣和發展，在初等代數中開始用變量代替具體的數字，它的中心是解方程

1. 抽象代數(abstract algebra)

初等代數與抽象代數的界限在於初等代數只考慮實數和複數代數結構

抽象代數、近世代數、如今代數指的都是同一個意思。抽象代數的主要研究對象是代數結構，包括羣、環、域、向量空間

代數主要研究的是運算規則。一門代數， 其實都是從某種具體的運算體系中抽象出一些基本規則，創建一個公理體系，而後在這基礎上進行研究。一個集合再加上一套運算規則，就構成一個代數結構。

1. 線性代數(linear algebra)

初等代數到抽象代數的擴展

抽象代數相對於初等代數進行了許多推廣。

• 數->集合
• +- ->二元運算
• 0/1->單位元

單位元\(e\)能夠定義爲\(a*e=a, e*a=a\)

其中\(*\)是一種二元運算

好比：矩陣的加法單位元是零矩陣, 矩陣的乘法單位元是單位矩陣(對角線爲1)。正整數集合沒有加法單位元

• 負數->逆元

(這裏是我本身的理解)

我所理解的逆元即：如有\(ab = e\)，則\(b\)爲\(a\)的逆元。

好比對於加法運算，\(a\)的逆元是\(-a\)。對於乘法運算，\(a\)的逆元是\(\frac{1}{a}\)。對於多項式運算，\(a\)的逆元是知足\(a*b=1\)的多項式\(b\)。

• 結合律

形式化的來講，對於二元運算\(*\)，如有\((a*b)*c=a*(b*c)\)，那麼稱該二元運算有結合律。

比較典型是的是整數加法、乘法運算知足結合律。整數減法、除法運算不知足結合律

• 交換律

形式化的來講，對於二元運算\(*\)，如有\(a*b=b*a\)，那麼稱該二元運算有交換律律。

比較典型是的是整數加法、乘法運算知足交換律，矩陣乘法不知足交換律。

羣

首先要有個代數結構\((R, *)\)。

根據不一樣的限制條件能夠有如下分類

環

環(ring)在交換羣的基礎上，進一步限制了條件。

域

域(field)至關因而在交換環的基礎上，增長了二元運算除法。須要知足每一個非零的元素都要有乘法逆元

向量空間

向量空間(vector space)是向量的集合

向量的概念不單單限於"幾何向量"，凡是知足下列公理化定義的對象均可以被稱爲向量

給定域\(F\)，\(F\)上的向量空間\(V\)是一個集合，其上定義了兩種二元運算

(如下內容抄襲自維基百科)

• 向量加法\(+\)

\(V*V \rightarrow V\)，把\(V\)中的兩個元素\(u\)和\(v\)映射到\(V\)中另外一個元素，記作\(u+v\)

• 標量乘法\(·\)

\(F \times V \rightarrow V\)，把\(F\)中的一個元素\(a\)和\(V\)中的一個元素\(u\)變爲\(V\)中的另外一個元素，記作\(a·u\)

\(V\)中的元素稱爲向量，相對地，\(F\)中的元素稱爲標量。

而集合\(V\)公理才構成一個向量空間(對\(F\)中的一個元素\(a, b\)以及\(V\)中的任意元素\(u, v, w\))都成立

模

模(module)是對向量空間的推廣，將標量需爲域(向量空間)推廣到任意環(模)。

代數

代數(algebra)將algebra over a field中的域推廣到交換環。

格

格(lattice)是任意兩個元素都有上確界和下确界的偏序集合。

參考資料

代數結構入門：羣、環、域、向量空間

向量空間