LCS，給你一個不同的模糊匹配

時間 2019-11-08

標籤 lcs 一個不同模糊匹配简体版

原文原文鏈接

1. 什麼是LCS

LCS(longest-common-subsequence problem),又名最長公共子序列問題
給定兩個序列X和Y，若是Z既是X的子序列，也是Y的子序列，咱們稱它爲X和Y的公共子序列

好比X={A,B,C,D,E,F,G} Y={T,A,C,M,G}，那麼Z={A,C,G}，就是其最長公共子序列
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2. 爲何說須要LCS來解決模糊匹配

咱們通常的字符串匹配，就是子串查找；可是實際應用中，每每有子串查找解決不了的問題；
好比『我家有臺電視機，你要不』和『我有個電視機，你要不』這二者其實指代同一個事情；
那麼在實際應用場景中，特別是工業領域，每每沒法存在嚴格的子串和母串；
更多的是類似性問題，即類似的字符串指代同一個物品/事件。
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3. 實現原理

最長公共子序列問題:給定兩個序列
X={X1,X2,...,Xm} Y={Y1,Y2,...,Yn},求X和Y長度最長的公共子序列。
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好了，咱們想想，假設這是個算法題，咱們會怎麼作？算法

第一反應多是窮舉掃描，可是呢，咱們也知道，若是字符串太長，暴力方法運行的時間是咱們不能忍受的。數組

而後咱們又會想到，將大問題拆分紅小問題，用遞歸的思想解決。post

咱們假設：
1.Xm=Yn,那麼X,Y的最長公共子序列，確定會包含最後這個字符，那麼就變成求解Xm-1,Ym-1的LCS
2.Xm!=Yn,這個時候，若是最長公共子序列不含Xm,就意味着，該題變成求解Xm-1和Yn的公共子序列
3.Xm!=Yn,這個時候，若是最長公共子序列不含Yn,就意味着，該題變成求解Xm和Yn-1的公共子序列
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至此爲止，咱們找到了求解最長公共子序列的方法。優化

咱們仔細觀察一下上述的分析過程，是否是似曾相識？這正是 $\color{red}{動態規劃}$ 問題！spa

讓咱們來回顧一下什麼是動態規劃：code

動態規劃一般用來求解最優化問題
動態規劃是經過組合子問題的解來解決原問題
....
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以及觀察某個問題，是否適用於動態規劃算法：cdn

1.是否具備最優子結構性質
    若是一個問題的最優解，包含其子問題的最優解
2.具備重疊子問題性質
    問題的遞歸算法會反覆求解相同的子問題
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詳見《什麼是動態規劃》一章blog

好了，接着說回LCS，經過上述的分析，咱們獲得以下的公式：遞歸

爲何公式是如上形式？由於咱們假設X，Y串以下排列，像是一個二維數組事件

其中X={A,B,C,A,D,A,B} Y={B,A,C,D,B,A}
C[i][j]表明公共子序列的長度
若是Xi=Yj,那麼意味着子序列又多匹配上一位，其在Xi-1,Yj-1的最長公共子序列的結果上多增長了一個。
若是Xi!=Yj,那麼意味着，Xi,Yj的最長公共子序列的答案確定在Xi-1，Yj或者Xi,Yj-1的最長公共子序列中，那麼既然是最長，確定是取二者中更大的值；

至此，咱們已經清晰的定義出LCS的求解公式。

按照這個公式，咱們能夠自頂向下的遞歸或者自底向上的累加；通常動態規劃，採用自底向下更簡單些；

思路以下：

int nLenX = X.length();
int nLenY = Y.length();
char** C = new char[nLenX + 1][nLenY + 1];

//初始化c二維數組
....

//LCS
for ( int i = 1; i <= nLenX; i++ )
{
    for ( int j = 1; j <= nLenY; j++ )
    {
        if ( X[i-1] == Y[j-1])
        {
            C[i][j] = C[i-1][j-1] + 1;
        }
        else if ( C[i-1][j] >= C[i][j-1] )
        {
            C[i][j] = c[i-1][j];
        }
        else
        {
            C[i][j] = C[i][j-1];
        }
    }
}

//析構數組
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按照公式實現就好了，很簡單

這裏有個小細節。C[][]下標是從1開始的，而且長度比X，Y要長1位，這是從實現角度，省下了考慮i-1 < 0的問題，實現的一個小技巧。

以下圖所示：