數據結構--2-3樹

2-3 查找樹(2-3-Search-Tree)

• 2-結點：標準二叉樹中的結點稱爲2-結點（含有一個鍵和兩條連接）。

• 3-結點：包含兩個鍵和三條連接。

定義：一顆2-3查找樹或爲一棵空樹，或由如下結點組成:

  2-結點，含有一個鍵（及其對應的值）和兩條連接，左連接指向的2-3樹中的鍵都小於該結點，右連接指向的2-3樹中的鍵都大於該結點。

  3-結點，含有兩個鍵（及其對應的值）和三條連接，左連接指向的2-3樹中的鍵都小於該結點，中連接指向的2-3樹中的鍵都位於該結點的 兩個鍵之間，右連接指向的2-3樹中的鍵都大於該結點。

2-3 查找樹(2-3-Search-Tree) 的操做

一棵完美平衡的2-3查找樹中全部空連接到根節點的距離應該都是相同的。

查找

  2-3 查找樹中的查找與二分搜索樹的查找相似。要判斷一個鍵是否在樹中，先將它和根結點中的鍵比較。若是它和其中任意一個 相等，查找命中。不然，根據比較的結果找到指向相應區間的連接，並在其指向的子樹中遞歸繼續查找。若是是個空連接，查找未命中。

在如上圖所示的2-3樹中查找鍵爲2的結點是否存在，過程以下：

在如上圖所示的2-3樹中查找鍵爲17的結點是否存在，過程以下：

插入

向2-結點中插入新鍵

  要在2-3樹中插入一個新的結點，相似於二分搜索樹的插入，先進行一次未命中的查找，找到要插入的結點所在的位置，將其掛在樹的底部。 但這樣一來樹就沒法保證完美平衡性。使用2-3的主要緣由：在插入新的結點以後可以繼續保持平衡。

  若是未命中的查找結束於一個2-結點，就將這個2-結點替換爲3-結點，將要插入的鍵保存在其中便可。

  若是未命中的查找結束於一個3-結點，分析過程以下。

向一棵只含有一個3-結點的樹中插入新鍵

  在考慮通常狀況以前，先假設咱們須要向一棵只含有一個3-結點的樹中插入一個新鍵。這棵樹中有兩個鍵，因此在它惟一的結點中 已經沒有可插入新鍵的空間了。爲了將新鍵插入，先臨時將新鍵存入該結點中，造成一個4-結點(含有3個鍵和4條鏈接)。建立一個4-結點很方便， 由於很容易將其轉化成爲一棵由3個2-結點組成的2-3樹，其中一個結點(根)含有中鍵，一個結點含有3個鍵中的最小者(和根結點的左連接相連)， 一個結點含有3個鍵中的最大者(和根結點的右連接相連)。這棵樹便是一棵含有3個結點的二叉查找樹，同時也是一棵完美平衡的2-3樹，由於其中全部的 空連接到跟結點的距離都相等。插入前樹的高度是0，插入後樹的高度是1。

向一個父結點爲2-結點的3-結點中插入新鍵

  假設未命中的查找結束於一個3-結點，而它的父結點是一個2-結點。在這種狀況下須要：在維持樹的完美平衡的前提下爲新鍵 騰出空間。 須要像剛纔同樣構造一個臨時的4-結點並將其分解，但此時不會爲中鍵建立一個新結點，而是將其移動到原來的父結點中。

  將此次轉換當作將指向原3-結點的一條連接替換爲新父結點中的原中鍵左右兩邊的兩條連接，並分別指向兩個新的2-結點。 根據假設，父結點中石油空間的：父結點是一個2-結點，插入以後變成了一個3-結點。另外，此次轉換也不影響(完美平衡的)2-3樹的 主要性質。樹仍然是有序的，由於中鍵被移到父節點中去了；樹仍然是完美平衡的，插入後全部的葉子結點到根結點的距離仍然相同。

上述過程是2-3樹動態變化的核心，圖示展現以下：

向一個父結點爲3-結點的3-結點中插入新鍵

  假設未命中查找結束於一個父結點爲3-結點的3-結點。依舊須要構造一個臨時的4-結點並分解它，而後將它的中鍵插入它的父結點中。因爲父結點也是一個3-結點，插入中間後又造成一個新的臨時4-結點，而後在這個節點上進行相同的變換，集分解這個父結點並將它的中鍵插入的它的父結點中去。推廣到通常的狀況，就是這樣一直向上不斷分解臨時的4-結點並將中鍵插到更高層的父結點，直到遇到一個2-結點並將它替換爲一個不須要繼續分解的3-結點，或者是到達3-結點的根。

圖示過程以下：

分解根結點

  若是從插入節點到根結點的路徑上都是3-結點，根結點最終變成一個臨時的4-結點。此時能夠按照向一棵只有一個*3-結點的樹中插入新鍵的方法處理這個問題。將臨時的4-結點分解爲三個2-結點**，樹高加1。此次最後的變化仍然保持了樹的完美平衡性，由於它變換的是根結點。

圖示過程以下：

4-結點的分解

  在2-3樹中4-結點出現的位置有以下的幾種狀況。

• 1.根結點

• 2.父結點爲2-結點的左子結點或右子節點

• 3.父節點爲3-節點的左子節點、中間的子結點或右子結點

下面咱們來詳細看一下在2-3樹中出現上述的位置時如何分解。

情形：

當臨時的4-節點出如今根節點：

當臨時的4-節點出如今2-結點的左側：

當臨時的4-節點出如今2-結點的右側：

當臨時的4-節點出如今3-結點的左側：

當臨時的4-節點出如今3-結點的中間：

當臨時的4-節點出如今3-結點的右側：

上述的狀況中，在變化的過程當中，只有當根節點最後爲臨時的4-節點，此時被分解成爲3個2-結點時，整個樹的高度纔會增長1。除此以外，插入一個結點2-3樹的高度仍是原來的高度。上述的變化過程當中：任何空連接到根節點的路徑長度都是相等的。

結論

  在一棵大小爲N的2-3樹中，查找和插入的操做訪問的結點必然不會超過lgN。

• 證實：

一棵含有N個結點的2-3樹的高度在在log2 N和log3 N之間。

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