上臺階問題的遞推分析

問題描述：

樓梯有N級臺階，上樓能夠一步上一階，也能夠一步上二階。編一遞推程序，計算共有多少種不一樣走法？

分析：

臺階數1……方法數F₁=1

臺階數2……方法數F₂=2

 

臺階數爲3的時候，方法數F₃的分析以下：

分兩類：

（1）第一步走1個臺階方法數是1；剩餘的2個臺階方法數目爲2.（這個是根據前述分析所得結果。）根據乘法原理，這一類狀況下，走法數目爲1*2=2種。

（2）第一步走2個臺階方法數是1；剩餘的1個臺階方法數目爲1.（這個是根據前述分析所得結果。）根據乘法原理，這一類狀況下，走法數目爲1*1=1種。

綜上所述，臺階數爲3時，根據加法原理，走法數目爲F₃=2+1=3種。

 

臺階數爲4的時候，方法數目F₄的分析以下：

分兩類：

（1）第一步走1個臺階方法數是1；剩餘的3個臺階方法數目爲3.（這個是根據前述分析所得結果。）根據乘法原理，這一類狀況下，走法數目爲1*3=3種。

（2）第一步走2個臺階方法數是1；剩餘的2個臺階方法數目爲2.（這個是根據前述分析所得結果。）根據乘法原理，這一類狀況下，走法數目爲1*2=2種。

綜上所述，臺階數爲4時，根據加法原理，走法數目爲F₄=3+2=5種。

 

……

 

臺階數爲n的時候，方法數目的分析以下：

分兩類：

（1）第一步走1個臺階方法數是1；剩餘的n-1個臺階方法數目爲F_n-1.（這個是根據前述分析所得結果。）根據乘法原理，這一類狀況下，走法數目爲1*F_n-1種。

（2）第一步走2個臺階方法數是1；剩餘的2個臺階方法數目爲F_n-2.（這個是根據前述分析所得結果。）根據乘法原理，這一類狀況下，走法數目爲1*F_n-2種。

綜上所述，臺階數爲n時，根據加法原理，走法數目爲F_n=F_n-1+F_n-2種。

 

因此，走n階臺階的方法數目以下：（符合斐波列契數列（Faibonacci）的規則）

F₁=1 ……（N=1）
F₂=2 ……（N=2）
F_n=F_n-1 + F_n-2 ……（N>=3）