爲何說「機率」帶來一場現代革命？

做者：Vamei 出處：http://www.cnblogs.com/vamei 嚴禁轉載。

機率是生活中日常不過的概念。咱們用機率來量化某種結果的可能性。平常生活中常見到機率。成功有機率，體育比賽的勝負有機率，彩票中獎也有機率。機率就是「機率論」這門學科研究的核心。不過，像機率這樣「平常」的概念，是在16世紀文藝復興時才成爲數學家研究的課題。

 

最早研究機率論的是一位名爲卡爾達諾的數學家。他研究了一個機率問題：

扔兩個色子，總和爲10的機率有多大？

 

扔色子這個遊戲，你們常玩。色子是一個方塊，六個面各有一個數字，從1到6。扔出去一個色子，那麼出現六個面中任意一個面的機率相同，所以每種結果的機率就是1/6。

 

扔兩個色子算總數時，總數機率就不同了。直覺上來講，總數爲2的機率會很小。只有兩個骰子都爲1這一種結果時，總數才能爲2。咱們把這樣的兩個色子的結果記成（1，1）。總數爲10的機率要高一些，包括了（5，5）、（4，6）、（六、4）三種結果。在桌遊《卡坦島》中，每塊兒土地有一個從2到12的數字。玩家經過扔兩個色子決定那塊兒土地產出資源。從下圖看到，7號包含的結合總數，比2號大得多。在總共36種結果中，總數7對應了6種結果，機率是6/36，大約是16.7%。總數2只對應了1種結果，因此機率就是1/36，大約爲2.8%。

卡坦島的結果

 

咱們看到，兩個色子的機率問題解決起來很容易，根本不須要高深的數學知識。但這個問題直到16世紀才被卡爾達諾搞明白。當時正值 「文藝復興」的時代。卡爾達諾的父親，就是「文藝復興」最著名畫家達·芬奇的朋友。歐洲掌握了火藥和印刷術，即將走入現代。放眼世界，哥倫布已經發現了美洲。中國進入到倒數第二個封建王朝：大明。日本已經結束了戰國，進入最後一個幕府時代，也就是江戶幕府。通過兩千年的發展，數學家已經發明瞭很是複雜的數學工具：歐氏幾何、代數方程、三角函數。詭異的是，看起來簡單的機率論，到了這麼晚的時間才誕生。

公元前300年就誕生的歐式幾何

 

機率論誕生得晚，有一種技術性的解釋：古代人制造色子的技藝不精。就拿古羅馬人來講，根本就沒有六個面方方正正的色子。人們賭博時用的，都是動物身上略顯方正的關節骨，好比豬肘的骨頭。因爲表面不規則，不一樣結果出現的機率起伏很大，機率問題根本無從研究。然而，古人在金屬加工方面的水平並不算低。既然能造出精美無雙的首飾，那就徹底有能力製做一個均勻的色子。所以，這個純粹技術性的解釋很難服衆。

 

機率論誕生的根本阻礙，其實在於信仰。古人認爲，事情的結果是神的安排。生意成功時，認爲獲得了財神保佑。地震發生，認爲是觸怒了老天。正是基於這樣的信念，古人才會用求籤和抽牌的隨機方式，來窺探天意。抱着這樣的信念，所謂的機率研究不但荒謬，並且有褻瀆神靈的嫌疑。就以歐洲爲例，從古羅馬末期到文藝復興，基督教擁有的權力甚至超過了國王。基督教認爲上帝全知全能，安排了一切事情的結果。若是有個數學家宣稱，數字就能表明結果的可能性，那上帝可真要無處安放了。

 

文藝復興正是以理性挑戰神權的時代，爲隨後的宗教改革奠基了基礎。歐洲正是通過了文藝復興洗禮，才擺脫了宗教的束縛。因此，機率論的誕生，必須以文藝復興這樣一場思想解放爲前提。卡爾達諾解決的機率問題很是簡單。他甚至在現代初中生就能解答的問題上犯錯，好比「扔3個色子，至少出現一次6的機率」。但他無疑引領了一次思想革命。數學家本身也意識到機率論思想的危險性。卡爾達諾在表述機率想法時就當心翼翼，而且明確表示不能排除上帝的做用。事實上，在卡爾達諾逝世幾十年後，伽利略重拾色子問題時，也在論文裏儘可能避免「機率」和「隨機」之類的字眼。

 

不管如何，機率誕生了。爲了贏錢，賭徒們可不在意上帝。他們開始拿着賭場的問題求助於數學家。早期的機率問題就和賭博結下了不解之緣。費馬和帕斯卡兩位數學家就聯手解決了一系列的賭博問題。其中一個有名的問題，是在一場未完成的賭局中，賭徒應該怎樣分贓。拿一個簡單的例子來講明。兩個賭徒搖兩次色子，約定以兩次色子總和來比大小定輸贏。第一輪，有人搖出5，另外一我的搖出1。搖出5的人歡欣雀躍，搖出1的雖然沮喪但也盼着下一輪來翻盤。若是這個時候賭局中止，兩人應該怎樣分錢才公平。平分固然不公平。在第一輪已經完成的狀況下，搖出5的賭徒應該有更大機率贏得第二輪。所以，這我的會指望本身分到更多的錢。

 

賭場的機率問題

 

費馬和帕斯卡經過數學計算了每種結果出現的機率，再用機率來計算出每一個人應該分到的錢。經過特定的數學方法，人們能夠計算出對未知的「指望」。「指望」很快應用在興旺的航海業中。當時的西歐國家都在全面投機航海業。帆船從亞洲、美洲、非洲運來大量貨物，創造着鉅額利潤。可若是船沉了，投資人的錢就全虧了。有了「指望」這樣的機率工具，商人能夠計算出預期收益，最終決定入股哪艘航船。能夠說，兩位數學家爲「股權投資」這一現代金融形式鋪平了道路。 說到底，機率論研究的是未發生的事情。在盈利性投機的金融活動中，越多瞭解將來，就越能賺錢。

既然能賺錢，上帝就不那麼重要了。商人們彙集在阿姆斯特丹、巴黎和倫敦的交易所，狂熱地用數字來揣摩上帝對將來的安排。在投入實用的同時，機率依然充滿了神祕色彩。在機率計算的第一步，數學家依然在使用經驗性的假設，卻沒法說清爲何。爲何均勻色子一個面的結果和另外一個面的色子相同？爲何硬幣證實的機率是1/2？這些看似簡單的問題，卻涉及到了機率本質，甚至威脅到機率論的進一步發展。在這個危機關頭，數學家又一次出手，挽救了機率論。

 

雅克布·伯努利是來自伯努利家族的「數二代」。伯努利提出了 「大數定律」。伯努利認爲，在試驗不變的條件下，重複試驗屢次，隨機事件的頻率近似於它的機率。換句話說，伯努利用頻率解釋了機率。若是你肯定色子拋出1的機率，那就成千上萬次地扔出色子，並記錄結果1佔總實驗次數的比例。 「大數定律」去處了機率最後一分「玄學」色彩，讓機率變成了像物理化學那樣的實驗學科。

 

在平常生活中，咱們會在潛意識中把「頻率」和「機率」聯繫起來。常據說東京地震的新聞，卻不常據說上海地震，那上海地震的機率天然比東京的高。伯努利只是用嚴格的數學語言，更清楚地說明了「頻率」和「機率」的關係。但千萬不要小看「大數定律」。以這條數學定律爲基礎，機率論的大廈才能繼續施工。這裏舉一個簡單的應用，就是計算圓周率。一個半徑是1的圓，它的面積就是圓周率。這個數字從3.1415926……開始，小數點後會有無限位。中國數學家祖沖之的偉大成就，就是經過複雜的幾何方法，計算出了圓周率的後面的第七位。

 

但根據「大數定律」，咱們能夠用一種玩遊戲的方法算出圓周率。咱們找一個正方形的場地圍起來。正方形變長是2。正方形中再畫一個半徑爲1的內切圓，以下圖所示。咱們往這個場地中隨機地丟沙包，並記下圓形中沙包和扔出沙包總數的比值。當咱們扔愈來愈多沙包時，比值就會愈來愈趨近於圓周率的1/4。也就是說，困擾古人數千年的圓周率計算問題，能夠經過丟沙包來算出無限高的精度。

扔沙包的場地

「丟沙包計算圓周率」的方式之因此成立，就在於「大數定律」。沙包會隨機地出如今場地的任意一點，那沙包入圓的機率是圓形面積和方形面積的比值，也就是圓周率的1/4。另外一方面根據「大數定律」，當咱們扔的沙包愈來愈多的時候，結果中沙包成功進入到圓形的頻率，會愈來愈趨近該狀況的機率。所以，咱們最終用扔沙包得到的頻率，得到了包含在機率中的圓周率。 祖沖之的時代尚未幾率的思想，想不到用這種簡單的方法來計算圓周率。另外一方面，這種名爲「蒙特卡羅方法」的計算方式，已是天氣預報、金融博弈、航天器設計等領域不可或缺的工具。

 

現在，機率論已是中學時就會接觸的數學知識。但機率論的簡單公式，記載了一場思想革命。在這場革命中，沉默的數學家用數字向上帝宣戰，把「將來」從上帝那裏轉交到每一個人的手上。這場革命不但改變了社會的面貌，也完全改變了人的思想。