拜託，面試別再問我堆（排序）了！

何爲堆？

堆是一種特殊的樹，只要知足下面兩個條件，它就是一個堆：

（1）堆是一顆徹底二叉樹；

（2）堆中某個節點的值老是不大於（或不小於）其父節點的值。

其中，咱們把根節點最大的堆叫作大頂堆，根節點最小的堆叫作小頂堆。

堆詳解

滿二叉樹

滿二叉樹是指全部層都達到最大節點數的二叉樹。好比，下面這顆樹：

徹底二叉樹

徹底二叉樹是指除了最後一層其它層都達到最大節點數，且最後一層節點都靠左排列。好比，下面這顆樹：

可見，其實滿二叉樹是一種特殊的徹底二叉樹。

那麼，使用什麼結構存儲徹底二叉樹最節省空間呢？

咱們能夠看見，徹底二叉樹的節點都是比較緊湊的，且只有最後一層是不滿的，因此使用數組是最節省空間的，好比上面這顆徹底二叉樹咱們能夠這樣存儲。

咱們下標爲0的位置不存儲元素，從下標爲1的位置開始存儲元素，每層依次從左往右放到數組裏來存儲。

爲何下標0的位置不存在元素呢？

這是由於這樣存儲咱們能夠很方便地找到父節點，好比，4的父節點即4/2=2，5的父節點即5/2=2。

堆

堆也是一顆徹底二叉樹，可是它的元素必須知足每一個節點的值都不大於（或不小於）其父節點的值。好比下面這個堆：

前面咱們說過徹底二叉樹適合使用數組來存儲，那上面這個堆應該怎麼存儲呢？

一樣地，咱們下標爲0的位置不存在元素，最後就變成下面這樣。

這時候咱們要找8的父節點就拿8的位置下標5/2=2，也就是5這個節點的位置，這也是爲了咱們後面堆化。

插入元素

往堆中插入一個元素後，咱們須要繼續知足堆的兩個特性，即：

（1）堆是一顆徹底二叉樹；

（2）堆中某個節點的值老是不大於（或不小於）其父節點的值。

爲了知足條件（1），因此咱們把元素插入到最後一層最後一個節點日後一位的位置，可是插入以後可能再也不知足條件（2）了，因此這時候咱們須要堆化。

好比，上面那個堆咱們須要插入元素2，咱們把它放在9後面，這時不知足條件（2）了，咱們就須要堆化。（這是一個小頂堆）

將徹底二叉樹和數組對照着來看。

在徹底二叉樹中，插入的節點與它的父節點相比，若是比父節點小，就交換它們的位置，再往上和父節點相比，若是比父節點小，再交換位置，直到比父節點大爲止。

在數組中，插入的節點與n/2位置的節點相比，若是比n/2位置的節點小，就交換它們的位置，再往前與n/4位置的節點相比，若是比n/4位置的節點小，再交換位置，直到比n/(2^x)位置的節點大爲止。

這就是插入元素時進行的堆化，也叫自下而上的堆化。

從插入元素的過程，咱們知道每次與n/(2^x)的位置進行比較，因此，插入元素的時間複雜度爲O(log n)。

刪除堆頂元素

咱們知道，在小頂堆中堆頂存儲的是最小的元素，這時候咱們把它刪除會怎樣呢？

刪除了堆頂元素後，要使得還知足堆的兩個特性，首先，咱們能夠把最後一個元素移到根節點的位置，這時候就知足條件（1），以後就是使它知足條件（2），就須要堆化了。

將徹底二叉樹和數組對照着來看。

在徹底二叉樹中，把最後一個節點放到堆頂，而後與左右子節點中小的交換位置（由於是小頂堆），依次往下，直到其比左右子節點都小爲止。

在數組中，把最後一個元素移到下標爲1的位置，而後與下標爲2和3的位置對比，發現8比2大，且2是2和3中間最小的，因此與2交換位置；而後再下標爲4和5的位置對比，發現8比5大，且5是5和7中最小的，因此與5交換位置，沒有左右子節點了，堆化結束。

這就是刪除元素時進行的堆化，也叫自上而下的堆化。

從刪除元素的過程，咱們知道把最後一個元素拿到根節點後，每次與2n和(2n+1)位置的元素比較，取其小者，因此，刪除元素的時間複雜度也爲O(log n)。

建堆

假定給定一組亂序的數組，咱們該怎麼建堆呢？

以下圖所示，咱們模擬依次往堆中添加元素。

（1）插入6這個元素，只有一個，不須要比較；

（2）插入8這個元素，比6大，不須要交換；

（3）插入3這個元素，比下標3/2=1的位置上的元素6小，交換位置；

（4）插入2這個元素，比下標4/2=2的位置上的元素8小，交換位置，比下標2/2=1的位置上的元素3小，交換位置；

（5）...

（10）最後，所有插入完成，即完成了建堆的過程。

咱們知道，徹底二叉樹的高度h=log n，且第h層有1個元素，第(h-1)層有2個元素，第(h-2)層有2^2個元素，...，第1層有2^(h-1)個元素。

其實，建堆的整個過程當中一個節點的比較次數是與它的高度k成正比的，好比，上圖中的1這個元素，它也是從最後一層依次比較了3次（高度h=4），纔到達瞭如今的位置。

因此，咱們能夠得出第h層的元素有1個，它最多須要比較(h-1)次；第(h-1)層有2個元素，它們最多比較(h-2)次；第(h-2)層有2^2個元素，它們最多比較(h-3)次；...；第1層有2^(h-1)個元素，它們最多比較0次。

於是，總和就以下圖：

因此，建堆的時間複雜度就是O(n)。

堆排序

咱們知道，對於小頂堆，堆頂存儲的元素就是最小的。

那麼，咱們刪除堆頂元素，堆化，第二小的跑堆頂了，再刪除，再堆化，...，這些刪除的元素是否是正好有序的？

固然是的，因此堆排序的過程就很簡單了。

咱們直接把堆頂的元素與第n個元素交換位置，再把前(n-1)個元素堆化，再把堆頂元素與第(n-1)個元素交換位置，再把前(n-2)個元素堆化，..，，進行下去，最後，數組中的元素就整個變成倒序的了，也就排序完了。

咱們知道刪除一個元素的時間複雜度是O(log n)，那麼刪除n個元素正好是：

log n + log(n-1) + log(n-2) + log 1

這個公式約等於nlog n，因此堆排序的時間複雜度爲O(nlog n)。

並且，這樣排序不須要佔用額外的空間，只須要交換元素的須要一個臨時變量，因此堆排序的空間複雜度爲O(1)​。​

總結

（1）堆是一顆徹底二叉樹；

（2）小（大）頂堆中的每個節點都不小於（不大於）它的父節點；

（3）堆的插入、刪除元素的時間複雜度都是O(log n)；

（4）建堆的時間複雜度是O(n)；

（5）堆排序的時間複雜度是O(nlog n)；

（6）堆排序的空間複雜度是O(1)​；​

彩蛋

堆都有哪些應用呢？

其實，堆除了堆排序之外，還有不少其它的用途，好比求中位數，99%位數，定時任務等。

好比，求中位數的大體思路，是分別創建一個大頂堆和一個小頂堆，而後往這兩個堆中放元素，當其中一個堆的元素個數比另一個多2時，就平衡一下，這樣全部元素都放完以後，兩個堆頂的元素之一（或之二）就是中位數。

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