徹底揹包完美演繹

揹包問題——「徹底揹包」詳解及實現（包含揹包具體物品的求解）

徹底揹包是在N種物品中選取若干件（同一種物品可屢次選取）放在空間爲V的揹包裏，每種物品的體積爲C₁，C₂，…，C_n，與之相對應的價值爲W₁,W₂，…，W_n.求解怎麼裝物品可以使揹包裏物品總價值最大。

動態規劃（DP）：

        1） 子問題定義：F[i][j]表示前i種物品中選取若干件物品放入剩餘空間爲j的揹包中所能獲得的最大價值。

        2） 根據第i種物品放多少件進行決策

                                     (2-1)

        其中F[i-1][j-K*C[i]]+K*W[i]表示前i-1種物品中選取若干件物品放入剩餘空間爲j-K*C[i]的揹包中所能獲得的最大價值加上k件第i種物品；

       設物品種數爲N，揹包容量爲V，第i種物品體積爲C[i]，第i種物品價值爲W[i]。

       與01揹包相同，徹底揹包也須要求出NV個狀態F[i][j]。可是徹底揹包求F[i][j]時須要對k分別取0,…，j/C[i]求最大F[i][j]值,耗時爲j/C[i]。那麼總的時間複雜度爲O(NV∑(j/C[i]))

由此寫出僞代碼以下：

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1. F[0][] ← {0}  
2.   
3. F[][0] ← {0}  
4.   
5. for i←1 to N  
6.   
7.     do for j←1 to V  
8.   
9.         do for k←0 to j/C[i]  
10.   
11.            if(j >= k*C[i])  
12.   
13.                 then F[i][k] ← max(F[i][k],F[i-1][j-k*C[i]]+k*W[i])  
14.   
15. return F[N][V]  

以上僞代碼數組均爲基於1索引，即第一件物品索引爲1。空間複雜度O(VN)、時間複雜度爲O(NV∑(j/C[i]))

        簡單優化：

        若兩件物品知足C[i] ≤C[j]&&W[i] ≥W[j]時將第j種物品直接篩選掉。由於第i種物品比第j種物品物美價廉，用i替換j獲得至少不會更差的方案。

       這個篩選過程以下：先找出體積大於揹包的物品直接篩掉一部分（也可能一種都篩不掉）複雜度O(N)。利用計數排序思想對剩下的物品體積進行排序，同時篩選出同體積且價值最大的物品留下，其他的都篩掉（這也可能一件都篩不掉）複雜度O(V)。整個過程時間複雜度爲O(N+V)

 

       轉化爲01揹包：

       由於同種物品能夠屢次選取，那麼第i種物品最多能夠選取V/C[i]件價值不變的物品，而後就轉化爲01揹包問題。整個過程的時間複雜度並未減小。若是把第i種物品拆成體積爲C[i]×2^k價值W[i]×2^k的物品，其中知足C[i]×2^k≤V。那麼在求狀態F[i][j]時複雜度就變爲O(log₂(V/C[i]))。整個時間複雜度就變爲O(NVlog₂(V/C[i]))

 

時間複雜度優化爲O(NV)

將原始算法的DP思想轉變一下。

設F[i][j]表示出在前i種物品中選取若干件物品放入容量爲j的揹包所得的最大價值。那麼對於第i種物品的出現，咱們對第i種物品放不放入揹包進行決策。若是不放那麼F[i][j]=F[i-1][j]；若是肯定放，揹包中應該出現至少一件第i種物品，因此F[i][j]種至少應該出現一件第i種物品,即F[i][j]=F[i][j-C[i]]+W[i]。爲何會是F[i][j-C[i]]+W[i]？由於F[i][j-C[i]]裏面可能有第i種物品，也可能沒有第i種物品。咱們要確保F[i][j]至少有一件第i件物品，因此要預留C[i]的空間來存放一件第i種物品。

狀態方程爲：

                           (2-2)

僞代碼爲：

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1. F[0][] ← {0}  
2.   
3. F[][0] ← {0}  
4.   
5. for i←1 to N  
6.   
7.     do for j←1 to V  
8.   
9.         F[i][j] ← F[i-1][j]  
10.   
11.         if(j >= C[i])  
12.   
13.             then F[i][j] ← max(F[i][j],F[i][j-C[i]]+ W[i])  
14.   
15. return F[N][V]  

        具體揹包中放入那些物品的求法和01揹包狀況差很少，從F[N][V]逆着走向F[0][0]，設i=N,j=V，若是F[i][j]==F[i][j-C[i]]+W[i]說明包裏面有第i件物品，同時j -= C[i]。徹底揹包問題在處理i自減和01揹包不一樣，01揹包是無論F[i][j]與F[i-1][j-C[i]]+W[i]相不相等i都要減1，由於01揹包的第i件物品要麼放要麼不放，無論放仍是不放其已經遍歷過了，須要繼續往下遍歷而徹底揹包只有當F[i][j]與F[i-1][j]相等時i才自減1。由於F[i][j]=F[i-1][j]說明揹包裏面不會含有i，也就是說對於前i種物品容量爲j的揹包所有都放入前i-1種物品才能實現價值最大化，或者直白的理解爲前i種物品中第i種物品物不美價不廉，直接被篩選掉。

        打印揹包內物品的僞代碼以下：

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1. i←N  
2.   
3. j←V  
4.   
5. while(i>0 && j>0)  
6.   
7.      do if(F[i][j]=F[i][j-C[i]]+W[i])  
8.   
9.           then Print W[i]  
10.   
11.                j←j-C[i]  
12.   
13.         else  
14.   
15.           i←i-1  

        和01揹包同樣，也能夠利用一個二維數組Path[][]來標記揹包中的物品。開始時Path[N][V]初始化爲0,當 F[i][j]==F[i][j-C[i]]+W[i]時Path[i][j]置1。最後經過從Path[N+1][V+1]逆着走向Path[0][0]來獲取揹包內物品。其中Path[0][]與Path[][0]爲邊界。一樣，在打印路徑的時候當Path[][]=1時，打印W[i]；Path[][]=0時i自減1.

       加入路徑信息的僞代碼以下：

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1. F[0][] ← {0}  
2.   
3. F[][0] ← {0}  
4.   
5. Path[][] ← 0  
6.   
7. for i←1 to N  
8.   
9.     do for k←1 to V  
10.   
11.         F[i][k] ← F[i-1][k]  
12.   
13.         if(k >= C[i] && F[i][k] < F[i][k-C[i]]+W[i])  
14.   
15.             then F[i][k] ← F[i][k-C[i]]+W[i]  
16.   
17.                  Path[i][k] ← 1  
18.   
19. return F[N][V] and Path[][]  

打印揹包內物品的僞代碼以下：

[cpp]   view plain copy

1. i←N  
2.   
3. j←V  
4.   
5. while(i>0 && j>0)  
6.   
7.      do if(Path[i][j]=1)  
8.   
9.           then Print W[i]  
10.   
11.                j←j-C[i]  
12.   
13.         else  
14.   
15.           i←i-1  

優化空間複雜度爲O（V）

        和01揹包問題同樣，徹底揹包也能夠用一維數組來保存數據。算法樣式和01揹包的很類似，惟一不一樣的是對V遍歷時變爲正序，而01揹包爲逆序。01揹包中逆序是由於F[i][]只和F[i-1][]有關，且第i件的物品加入不會對F[i-1][]狀態形成影響。而徹底揹包則考慮的是第i種物品的出現的問題，第i種物品一旦出現它勢必應該對第i種物品還沒出現的各狀態形成影響。也就是說，原來沒有第i種物品的狀況下可能有一個最優解，如今第i種物品出現了，而它的加入有可能獲得更優解，因此以前的狀態須要進行改變，故須要正序。

狀態方程爲：

                          (2-3)

 

僞代碼以下：

[cpp]   view plain copy

1. F[] = {0}  
2.   
3. for i←1 to N  
4.   
5.     do for k←C[i] to V  
6.   
7.         F[k] ← max(F[k],F[k-C[i]]+W[i])  
8.   
9. return F[V]  

        具體揹包中放入那些物品的求法和上面空間複雜度爲O(NV)算法同樣，用一個Path[][]記錄揹包信息。但這裏面是當F[i]=F[i-C[i]]+W[i]時將Path置1.

        僞代碼以下：

[cpp]   view plain copy

1. F[0][] = {0}  
2.   
3. F[][0] = {0}  
4.   
5. Path[][] ← 0  
6.   
7. for i←1 to N  
8.   
9.     do for k←C[i] to V  
10.   
11.         if(F[i] < F[k-C[i]]+W[i])  
12.   
13.             then F[i] ← F[k-C[i]]+W[i]  
14.   
15.                  Path[i][k] ← 1  
16.   
17. return F[N][V] and Path[][]  

        打印路徑的僞代碼和前面未壓縮空間複雜度時的僞代碼同樣，這裏再也不重寫。

 

         舉例：表2-1爲一個揹包問題數據表，設揹包容量爲10根據上述解決方法可獲得對應的F[i][j]如表2-2所示，最大價值即爲F[6][10].

表2-1揹包問題數據表

物品號i	1	2	3	4	5	6
體積C	3	2	5	1	6	4
價值W	6	5	10	2	16	8

 

表2-2前i件物品選若干件放入空間爲j的揹包中獲得的最大價值表

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	6	6	6	12	12	12	18	18
2	0	0	5	6	10	11	15	16	20	21	25
3	0	0	5	6	10	11	15	16	20	21	25
4	0	2	5	7	10	12	15	17	20	22	25
5	0	2	5	7	10	12	16	18	21	23	26
6	0	2	5	7	10	12	16	18	21	23	26

 下面針對前面提到的表2-1提供兩種方法的測試代碼：

 

[cpp]   view plain copy

1. #include <iostream>  
2. #include <cstring>  
3. #include "CreateArray.h"        //該頭文件用於二維數組的建立及銷燬，讀者本身實現  
4.   
5. using namespace std;  

 

//時間複雜度O(VN),空間複雜度爲O(VN)

[cpp]   view plain copy

1. int Package02(int Weight[], int Value[], int nLen, int nCapacity)  
2. {  
3.     int** Table = NULL;  
4.     int** Path = NULL;  
5.     CreateTwoDimArray(Table,nLen+1,nCapacity+1);    //建立二維數組  
6.     CreateTwoDimArray(Path,nLen+1,nCapacity+1); //建立二維數組  
7.       
8.     for(int i = 1; i <= nLen; i++)  
9.     {  
10.         for(int j = 1; j <= nCapacity; j++)  
11.         {  
12.             Table[i][j] = Table[i-1][j];  
13.             if(j >= Weight[i-1] && Table[i][j] < Table[i][j-Weight[i-1]]+Value[i-1])  
14.             {  
15.                 Table[i][j] = Table[i][j-Weight[i-1]]+Value[i-1];  
16.                 Path[i][j]=1;  
17.             }  
18.         }  
19.     }  
20.   
21.     int i = nLen, j = nCapacity;  
22.     while(i > 0 && j > 0)  
23.     {  
24.         if(Path[i][j] == 1)  
25.         {  
26.             cout << Weight[i-1] << " ";  
27.             j -= Weight[i-1];  
28.         }  
29.         else  
30.             i--;  
31.     }  
32.     cout << endl;  
33.   
34.     int nRet = Table[nLen][nCapacity];  
35.     DestroyTwoDimArray(Table,nLen+1);   //銷燬二維數組  
36.     DestroyTwoDimArray(Path,nLen+1);    //銷燬二維數組  
37.     return nRet;  
38. }  

//時間複雜度O(VN)，不考慮路徑空間複雜度爲O(V)，考慮路徑空間複雜度爲O(VN)

[cpp]   view plain copy

1. int Package02_Compress(int Weight[], int Value[], int nLen, int nCapacity)  
2. {  
3.     int * Table = new int [nCapacity+1];  
4.     memset(Table,0,(nCapacity+1)*sizeof(int));  
5.   
6.     int** Path = NULL;  
7.     CreateTwoDimArray(Path,nLen+1,nCapacity+1);     //建立二維數組  
8.   
9.     for(int i = 0; i < nLen; i++)  
10.     {  
11.         for(int j = Weight[i]; j <=nCapacity; j++)  
12.         {  
13.             if(Table[j] < Table[j-Weight[i]]+Value[i])  
14.             {  
15.                 Table[j] = Table[j-Weight[i]]+Value[i];  
16.                 Path[i+1][j] = 1;  
17.             }  
18.         }     
19.     }  
20.   
21.     int i = nLen, j = nCapacity;  
22.     while(i > 0 && j > 0)  
23.     {  
24.         if(Path[i][j] == 1)  
25.         {  
26.             cout << Weight[i-1] << " ";  
27.             j -= Weight[i-1];  
28.         }  
29.         else  
30.             i--;  
31.     }  
32.     cout << endl;  
33.   
34.     int nRet = Table[nCapacity];      
35.     DestroyTwoDimArray(Path,nLen+1);    //銷燬二維數組  
36.     delete [] Table;  
37.     return nRet;  
38. }  

測試代碼：

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1. int main()  
2. {  
3.     int Weight[] = {3,2,5,1,6,4};  
4.     int Value[] =  {6,5,10,2,16,8};  
5.     int nCapacity = 10;  
6.     cout << Package02(Weight,Value,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;  
7.     cout << Package02_Compress(Weight,Value,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;  
8.     return 0;  
9. }