二分圖匹配，匈牙利算法原理與實現

文章首先於微信公衆號：幾何思惟，關注第一時間獲取更新信息

如下場景太過真實，但都是虛構，爲了講清楚理論的過程。若有雷同，純屬我瞎編，還望勿對號入座。

1 婚戀市場，明碼實價

中國現在男女比例嚴重失衡，2021年預計將有9200萬單身貴族。爲了幫助解決這個社會性問題，提高總體人民的幸福感，小K打算投身到這份偉大的事業中。
「幾何思惟」婚戀所，用最科學的方法，幫你脫單。經過幾率論尋找最佳匹配對象，再經過微積分精確計算好感上升曲線，最後用數值分析無限逼近對方的理想型。最可怕的是，還包郵呢親，關注一波瞭解一下？

上班第一天，老闆給了小K一份單身男女好感的數據資料。以下圖，連線表示雙方互有好感，能夠嘗試處對象。

忽然遇到了一個問題，那怎麼才能進行最大的匹配，創造總體人民最大的幸福感呢，固然也能夠順便拿最多的中介費啦。

2 不要慫，就是幹

不少時候不是你比別人差，而是你執行力不夠，在猶豫中喪失機會。
你們就先行動起來吧。

快看，男1號選手在小K的鼓勵(慫恿)下，率先對女1號發起了進攻。在離失敗只有0.01公分的時候，他居然奇蹟般的完成反殺，沒錯，他成功啦，這種高超的技巧，嫺熟的手法簡直如同教科書通常，值得在座的每一個同窗深刻研究反覆琢磨啊。

男2號選手也不甘落後，也對女2號選手發起了進攻，沒錯，又一次成功啦。

男3號選手：我勒個去，我上我也行啊。因而也對本身心動的女1號發起了進攻，毫無心外，他陣亡了。。。

中間彩蛋。

男3號不甘心，原地復活，想再戰一回。在一個地方跌倒，我們就換一個地方再跌。。。
因而對女2號發起了進攻。

幾經波折。

男3號終於也成爲了有牽絆的男人，不論將來有多久，只在意曾經擁有過。

男4一看：這也沒我啥事兒了啊。

以上的過程其實就是經典的匈牙利算法，求解二分圖的最大匹配問題。

3 匈牙利算法

二分圖
定義：設G=(V,E)是一個無向圖，頂點集V可分割爲兩個互不相交的子集X，Y，而且圖中每條邊關聯的兩個頂點都分屬於這兩個互不相交的子集，兩個子集內的頂點不相鄰。

判斷是否爲二分圖的充要條件：G至少有兩個頂點,且其全部迴路的長度均爲偶數。
判斷方法：染色法

• 開始對任意一未染色的頂點染色
• 判斷其相鄰的頂點中，若未染色則將其染上和相鄰頂點不一樣的顏色；
• 若已經染色且顏色和相鄰頂點的顏色相同則說明不是二分圖，若顏色不一樣則繼續判斷

可用bfs或者dfs。

匹配
在二分圖G的子圖M中，M的邊集E中的任意兩條邊都不依附於同一個頂點，則稱M是一個匹配。

飽和點
匹配M的邊集所關聯的點爲飽和點，不然爲非飽和點。如上圖：

• \(M_1\)的飽和點：\(X_1,X_3,X_4,Y_1,Y_2,Y_3\)。
• \(M_2\)的飽和點：\(X_1,X_2,Y_1,Y_3\)。

交錯路
定義：圖G的一條路徑，且路徑中的邊在屬於M和不屬於M中交替出現。

增廣路(非網絡流中的定義)
定義：一條交錯路，且該交錯路的起點和終點都爲匹配M的非飽和點。
如上圖，交錯路1是增廣路；交錯路2不是增廣路，由於終點$$X_1$$不是非飽和點。

由增廣路推出如下結論：

• 路徑的邊數爲奇數，第一條邊和最後一條邊都不屬於M
• 將路徑中的邊的匹配方式取反操做，會獲得更大的匹配M'，匹配數加1
• M爲圖G的最大匹配等價於不存在M的增廣路

匈牙利算法核心思想：

• 1.初始匹配M爲空
• 2.找出一條增廣路徑p，取反操做獲得更大的匹配M'代替M
• 3.重複步驟2，直到找不出增廣路爲止

4 代碼實現

變量定義及初始化

const int MAXM = 200, MAXN = 200;
bool map[MAXN][MAXM] = {false}, visit[MAXM];
int n, m, x[MAXM], y[MAXN], ans = 0;

初始化

void init() {
    memset(x, 0xff, MAXM * 4);
    memset(y, 0xff, MAXN * 4);
    memset(map, false, MAXN * MAXM);

    int num, temp;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> num;
        for (int j = 0; j < num; ++j) {
            cin >> temp;
            map[i][temp - 1] = true;
        }
    }
}

遞歸尋找增廣路

bool hungary(int u) {
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        if (!visit[i] && map[u][i]) {
            visit[i] = true;
            if (y[i] == -1 || hungary(y[i])) {
                x[u] = i;
                y[i] = u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

遍歷全部點

int main() {
    init();
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (x[i] == -1) {
            memset(visit, false, MAXM);
            if (hungary(i)) {
                ans++;
            }
        }
    }
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

測試數據

輸入
5 5
2 2 5
3 2 3 4
2 1 5
3 1 2 5
1 2
輸出
4

---

掃描下方二維碼關注公衆號，第一時間獲取更新信息！