關於計算機中的《補碼》，公式：-n=~n+1 引申：~n=-n-1

在計算機系統中，數值一概用補碼來表示（存儲）。主要緣由是使用補碼能夠將符號位和其餘位統一處理；同時，減法也能夠按加法來處理。另外，兩個用補碼錶示的數相加時，若是最高位（符號位）有進位，則進位被捨棄。補碼跟源碼的轉換過程幾乎是相同的。

補碼概述

　　求給定數值的補碼錶示分如下兩種狀況：

⑴正數的補碼

　　與 原碼 相同。

　　【例1】+9的補碼是00001001。（備註：這個+9的補碼說的是用8位的2進制來表示補碼的，補碼錶示方式不少，還有16位2進制補碼錶示形式，以及32位2進制補碼錶示形式等。）

⑵負數的補碼

　　負數的補碼是對其原碼逐位取反，但符號位除外；而後整個數加1。

　　同一個數字在不一樣的補碼錶示形式裏頭，是不一樣的。比方說-15的補碼，在8位2進制裏頭是11110001，然而在16位2進制補碼錶示的狀況下，就成了1111111111110001。在這篇補碼概述裏頭涉及的補碼轉換默認把一個數轉換成8位2進制的補碼形式，每一種補碼錶示形式都只能表示有限的數字。

　　【例2】求-7的補碼。

　　由於給定數是負數，則符號位爲「1」。

　　後七位：-7的原碼（10000111）→按位取反（11111000）（負數符號位不變）→加1(11111001)

　　因此-7的補碼是11111001。

　　已知一個數的補碼，求原碼的操做分兩種狀況：

　　⑴若是補碼的符號位爲「0」，表示是一個正數，其原碼就是補碼。

　　⑵若是補碼的符號位爲「1」，表示是一個負數，那麼求給定的這個補碼的補碼就是要求的原碼。

　　再舉一個例子：求-64的補碼

　　+64：01000000

　　11000000

　　【例3】已知一個補碼爲11111001，則原碼是10000111（-7）。

　　由於符號位爲「1」，表示是一個負數，因此該位不變，仍爲「1」。

　　其他七位1111001取反後爲0000110；

　　再加1，因此是10000111。

　　在「閒扯原碼、 反碼 、補碼」文件中，沒有提到一個很重要的概念「模」。我在這裏稍微介紹一下「模」

　　的概念：

　　「模」是指一個計量系統的計數範圍。如時鐘等。 計算機 也能夠當作一個計量機器，它也有一個計量範

　　圍，即都存在一個「模」。例如：

　　時鐘的計量範圍是0～11，模=12。

　　表示n位的計算機計量範圍是0～2^(n)-1，模=2^(n）。

　　「模」實質上是計量器產生「溢出」的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的

　　餘數。任何有模的計量器，都可化減法爲加法運算。

　　例如：假設當前時針指向10點，而準確時間是6點，調整時間可有如下兩種撥法：

　　一種是倒撥4小時，即：10-4=6

　　另外一種是順撥8小時：10+8=12+6=6

　　在以12模的系統中，加8和減4效果是同樣的，所以凡是減4運算，均可以用加8來代替。

　　對「模」而言，8和4互爲補數。實際上以12模的系統中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有這個特

　　性。共同的特色是二者相加等於模。

　　對於計算機，其概念和方法徹底同樣。n位計算機，設n=8， 所能表示的最大數是11111111，若再

　　加1稱爲100000000(9位），但因只有8位，最高位1天然丟失。又回了00000000，因此8位 二進制系統 的

　　模爲2^8。在這樣的系統中減法問題也能夠化成加法問題，只需把減數用相應的補數表示就能夠

　　了。把補數用到計算機對數的處理上，就是補碼。

　　另外兩個概念

　　一的補碼（one's complement) 指的是正數=原碼，負數=反碼

　　而二的補碼（two's complement) 指的就是一般所指的補碼。

　　小數補碼求法：一種簡單的方式，符號位保持1不變，數值位從右邊數第一個1及其右邊的0保持不變，左邊按位取反。

⑶.補碼的絕對值（稱爲真值）

　　【例4】-65的補碼是10111111

　　若直接將10111111轉換成十進制，發現結果並非-65，而是191。

　　事實上，在計算機內，若是是一個 二進制 數，其最左邊的位是1，則咱們能夠斷定它爲負數，而且是用補碼錶示。

　　若要獲得一個負二進制數的絕對值（稱爲真值），只要各位（不包括符號位）取反，再加1，就獲得真值。

　　如：二進制值：10111111（-65的補碼）

　　各位取反：01000000

　　加1：01000001（+65的補碼）

編輯本段代數加減運算

一、補碼加法

　　[X+Y]補 = [X]補 + [Y]補

　　【例5】X=+0110011,Y=-0101001，求[X+Y]補

　　[X]補=00110011 [Y]補=11010111

　　[X+Y]補 = [X]補 + [Y]補 = 00110011+11010111=00001010

　　注：由於 計算機 中運算器的位長是固定的，上述運算中產生的最高位進位將丟掉，因此結果不是

　　100001010，而是00001010。

二、補碼減法

　　[X-Y]補 = [X]補 - [Y]補 = [X]補 + [-Y]補

　　其中[-Y]補稱爲負補，求負補的方法是：負數的絕對值的 原碼 全部位按位取反；而後整個數加1。（恢復原本解釋。請路人真正理解並實際驗證後再修改。以避免誤導大衆。另外，例6不具典型性，新增例7。）

　　【例6】1+（-1) [十進制]

　　1的原碼00000001 轉換成補碼：00000001

　　-1的原碼10000001 轉換成補碼：11111111

　　1+（-1)=0

　　00000001+11111111=00000000

　　00000000轉換成十進制爲0

　　0=0因此運算正確。

　　【例7增】-7-（-10) [十進制]

　　-7的補碼：11111001

　　-10的補碼：11110110

　　-（-10）：按位取反再加1實際上就是其負值的補碼，爲00001010

　　-7 - （-10)= -7 + 10 = 3

　　11111001+00001010 = 00000011

　　轉換成十進制爲3

三、補碼乘法

　　設被乘數【X】補=X0.X1X2……Xn-1，乘數【Y】補=Y0.Y1Y2……Yn-1,

　　【X*Y】補=【X】補×【Y】補，即乘數（被乘數）相乘的補碼等於補碼的相乘。

編輯本段代數解釋

　　任何一個數均可以表示爲-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a;

　　這個假設a爲正數，那麼-a就是負數。而根據二進制轉十進制數的方法，咱們能夠把a表示爲：a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2），第（n-1）位爲符號位不計算在內。

　　這裏k0,k1,k2,k(n-2）是1或者0，並且這裏設a的二進制位數爲n位，即其模爲2^(n-1），而2^(n-1）其二項展開是：1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2），而式子：-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，2^(n-1)-a代入a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2）和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2）兩式，2^(n-1)-a=(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n-3))*2^(n-3)+……+(1-k2)*2^2+(1-k1)*2^1+(1-k0)*2^0+1，而這步轉化正是取反再加1的規則的代數原理所在。由於這裏k0,k1,k2,k3……不是0就是1，因此1－k0,1-k1,1-k2的運算就是二進制下的取反，而爲何要加1，追溯起來就是2^(n-1）的二項展開式最後還有一項1的緣故。而-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，還有-2^(n-1）這項未解釋，這項就是補碼裏首位的1，首位1在轉化爲十進制時要乘上2^(n-1），這正是n位 二進制的 模。

　　不能貼公式，因此看起來很麻煩，若是寫成代數式子看起來是很方便的。

　　注：n位二進制，最高位爲符號位，所以表示的數值範圍-2^(n-1) ——2^(n-1) -1，因此模爲2^(n-1）。上面提到的8位二進制模爲2^8是由於最高位非符號位，表示的數值範圍爲0——2^8-1。

轉自百度~~