「解題報告」Codeforces Round #722 (Div. 1)

 

A. Parsa's Humongous Tree

既然是 \(A\) 題，那麼想簡單點好，直接猜取值只多是左端點或者右端點，\(\rm{DP}\) 就行？

證實考慮合併子樹的時候確定是數軸上的點和當前點的距離和，不太顯然取端點比中間的點不劣

B. Kavi on Pairing Duty

設 \(\rm{dp[i]}\) 表示前 \(i\) 對圓弧的方案，那麼轉移分兩種

• 全部圓弧長度相同：\(d_i\)

• 外側放若干個長度相同的大圓弧，中間放小的：\(\sum_{j<i} dp_j\)

直接前綴和優化作到 \(\Theta(n)\)

我的認爲有組合的方法，可是預處理 \(\binom xy\) 就須要 \(\Theta(N)\) 就不必了

C.Trees of Tranquillity

確實是手速題

多看一會就能發如今 \(A\) 樹上選擇的點是一條鏈，那麼直接 \(\rm{DFS}\) 同時回溯的時候撤銷貢獻就行

那麼貪心加點，在 \(B\) 樹上若是子樹裏面有點就不加，若是根鏈上面有選中的點就把那個點撤銷

寫一個重鏈剖分+線段樹就行了

D. It's a bird! No, it's a plane! No, it's AaParsa!

若是隻能走不能停就衝 \(\rm{Floyd}\) 等等就行，而對於等待是等效於花費 \(1\) 的代價從 \(x\) 走到 \(x+1\)，那麼建一把虛邊

直接使用不優化的 \(\rm{Dijsktra}\)，先把當前的源點處理掉

對於每輪掃出來的點，更新連出去的有向邊的同時用虛邊鬆弛便可

E.Mashtali and Hagh Trees

如何看待我對着這東西只想到了外向樹？

條件三表示要求的是：外向樹，內向樹，內向樹+根之間的邊+外向樹

下面又是 \(\rm{DP}\) 之美：先求度數小於等於 \(2\) 的部分的 \(f[i]\)，且只求內向樹

枚舉根的前驅的狀況獲得一個轉移：

 

\[f_x=f_{x-1}\sum\limits_{j=0}^{i=2} f_j+f_{x-1}+\binom {f_{x-1}+1}2 \]

 

第一項是表示根的兩個兒子的深度不一樣，最後一個是深度相同，這裏不能直接乘

中間是度數爲 \(1\)，那麼最後純內向/外向樹的答案和上面的相似，度數爲三的而已

這裏不可貴到根的度數只能是 \(2\) 的 \(g_i=f_i-f_{i-1}\)

注意減掉純鏈的狀況，此時把外向樹翻轉就是內向樹

對於不是純外向/內向樹的圖形強行欽定外向樹的根的度數是 \(2\)，使用 \(g_i\) 進行統計，也就是 \(\sum\limits_{i=0}^{n-1}f_ig_{n-i-1}\)

F. AmShZ Farm

處理這種問題的 常見 思路是把序列新加入一個點，變成一個長度爲 \(n+1\) 的環，也就是所謂的 序列轉等機率環模型

對於每一個新加入的 \(i\) 從 \(a_i\) 開始走，走到沒有被佔據的地方停，若是說最後剩下 \(n+1\) 號點沒有被佔據則說明序列是合法的

關注到圖形變成環了，那麼 每一個點空出來的機率都是同樣的，爲 \(\frac{1}{n+1}\)，這個等機率對於任意一個序列都能知足

考慮這樣一個性質：將一個合法的序列每一個元素 \(+1,+2,\dots +n\) 能獲得一個不合法的序列，可是顏色的相對順序不變

那麼直接獲得全部序列的總答案再除以 \(n+1\) 便可獲得合法序列的答案

直接堆一波式子：

 

\[\sum_{i=0}^n i^k\binom ni i! n^{n-i} \]

 

有沒有很是熟悉？這不就是統一省選 \(\rm{2020}\ Day1T2\) 嗎？

直接使用第二類斯特林數展開 \(i^k\) 而後用二項式把後面的組合數縮進去，再平移一把，把價值爲 \(0\) 的數捨去就好了

最後使用 \(\rm{NTT}\) 完成一行斯特林數的計算便可